Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC=4．點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作∠AEF=∠B，EF與△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F．當(dāng)EF⊥AC時(shí)，EF的長(zhǎng)為_______．

Answer 1

【答案】1+

【解析】

當(dāng)AB=AC，∠AEF=∠B時(shí)，∠AEF=∠ACB，當(dāng)EF⊥AC時(shí)，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF，即可得到AE⊥BC，依據(jù)Rt△CFG≌Rt△CFH，可得CH=CG=，再根據(jù)勾股定理即可得到EF的長(zhǎng)．

如圖，

當(dāng)AB=AC，∠AEF=∠B時(shí)，∠AEF=∠ACB，

當(dāng)EF⊥AC時(shí)，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF，

∴AE⊥BC，

∴CE=BC=2，

又∵AC=2，

∴AE=4，EG==，

∴CG==，

作FH⊥CD于H，

∵CF平分∠ACD，

∴FG=FH，而CF=CF，

∴Rt△CFG≌Rt△CFH，

∴CH=CG=，

設(shè)EF=x，則HF=GF=x-，

∵Rt△EFH中，EH2+FH2=EF2，

∴（2+）2+（x-）2=x2，

解得x=1+，

故答案為：1+．