Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．
（1）求證：CA是圓的切線；
（2）若點E是BC上一點，已知EC=4，∠ABC=32°，∠AEC=67°，求圓的直徑BC的長．（精確到1）

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）由BC為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到△BDC為直角三角形，利用直角三角形的兩銳角互余得到一對角互余，再由已知的角相等，等量代換可得出AC與BC垂直，進而確定出CA為圓的切線；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得到tan∠AEC，tan∠ABC，同AC表示出BC與EC，代入BC-EC=BE即可求出AC，進一步求出BC即可．

解答：解：（1）∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°．       
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴BC⊥CA，
∴CA是圓的切線；
                      
（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=

AC

EC

，
∴AC=4×tan67°，AC≈9.42 
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

BC

，
∴BC=9.42÷tan32°，BC≈15，
∴圓的直徑BC的長為15．

點評：本題主要考查對銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，切線的判定，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能證明是圓的切線是解此題的關鍵．