Question

【題目】已知：如圖，A是⊙O上一點，半徑OC的延長線與過點A的直線交于B點，OC=BC，AC= OB．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OA；

∵OC=BC，AC= OB，

∴OC=BC=AC=OA．

∴△ACO是等邊三角形．

∴∠O=∠OCA=60°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B，

又∠OCA為△ACB的外角，

∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，

∴∠B=30°，又∠OAC=60°，

∴∠OAB=90°，

∴AB是⊙O的切線

（2）解：作AE⊥CD于點E，

∵∠O=60°，

∴∠D=30°．

∵∠ACD=45°，AC=OC=2，

∴在Rt△ACE中，CE=AE= ；

∵∠D=30°，

∴AD=2 ，

∴DE= AE= ，

∴CD=DE+CE= + ．

【解析】（1）求證：AB是⊙O的切線，可以轉(zhuǎn)化為證∠OAB=90°的問題來解決．本題應先說明△ACO是等邊三角形，則∠O=60°；又AC= OB，進而可以得到OA=AC= OB，則可知∠B=30°，即可求出∠OAB=90°．（2）作AE⊥CD于點E，CD=DE+CE，因而就可以轉(zhuǎn)化為求DE，CE的問題，根據(jù)勾股定理就可以得到．