Question

【題目】問題提出：如果一個多邊形的各個頂點均在另一個多邊形的邊上，則稱這個多邊形為另一多邊形的內接多邊形

問題探究：

（1）如圖1，正方形PEFG的頂點E、F在等邊三角形ABC的邊AB上，頂點P在AC邊上．請在等邊三角形ABC內部，以A為位似中心，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，且使正方形P'E'F'G'的面積最大（不寫作法）

（2）如圖2，在邊長為4正方形ABCD中，畫出一個面積最大的內接正三角形，并求此最大內接正三角形的面積

拓展應用：

（3）如圖3，在邊長為4的正方形ABCD中，能不能截下一個面積最大的直角三角形，并使其三邊比為3：4：5，若能，請求出此直角三角形的最大面積，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）S△DEF＝16（2﹣3）；（3）能，S△DEF＝．

【解析】

（1）利用位似圖形的性質，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，如圖1所示；

（2）如圖2，△DEF是最大內接正三角形，在AD上取一點M，使得EM=MD．由△DAE≌△DCF，推出∠ADE=∠CDF，由∠ADC=90°，推出∠ADE=∠CDF=15°，推出∠MED=∠MDE=15°，推出∠AME=∠MED+∠MDE=30°，設AE=a，則EM=DM=2a，AM=a，可得a+2a=4，推出a=4（2-），推出BE=BF=4（-1），由此即可解決問題．

（3）能．理由：如圖3中，假設△BEF是直角三角形，EF：BE：BF=3：4：5，由△ABE∽△DEF，可得，AB=4，推出DE=3，AE=1，DF=，推出BE=，EF=，BF=，由此即可解決問題．

（1）如圖1，正方形P'E'F'G'即為所求；

（2）如圖2，△DEF是最大內接正三角形，在AD上取一點M，使得EM＝MD．

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°，

在Rt△DAE和Rt△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF，

∴∠ADE＝∠CDF，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF＝15°，

∴∠MED＝∠MDE＝15°，

∴∠AME＝∠MED+∠MDE＝30°，

設AE＝a，則EM＝DM＝2a，AM＝a，

∴a+2a＝4，

∴a＝4（2﹣），

∴BE＝BF＝4（﹣1），

∴S△DEF＝16﹣2××4×4（2﹣）﹣×4（﹣1）×4（﹣1）＝16（2﹣3）．

（3）能．理由：如圖3中，假設△BEF是直角三角形，EF：BE：BF＝3：4：5，

∵∠A＝∠D＝∠BEF＝90°，

∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠ABE＝∠DEF，

∴△ABE∽△DEF，

∴，

∵AB＝4，

∴DE＝3，AE＝1，DF＝，

∴BE=，EF=，BF=，

∴△BEF滿足條件，

∴S△DEF＝BEEF＝．