Question

如圖，拋物線y=﹣x²+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個命題：

①當(dāng)x＞0時，y＞0； 

②若a=﹣1，則b=3；

③拋物線上有兩點(diǎn)P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；

④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6．

其中真命題的序號是　　　　　　．

　

　

Answer 1

　②③　．

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．

【專題】計(jì)算題．

【分析】觀察函數(shù)圖象，利用拋物線在x軸上所對應(yīng)的自變量的取值范圍可對①進(jìn)行判斷；拋物線的對稱軸為直線x=1，則利用對稱性可對②進(jìn)行判斷；確定點(diǎn)Q比點(diǎn)P離對稱軸的距離要大，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進(jìn)行判斷；當(dāng)m=2時，先確定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股計(jì)算出DE=，作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D′，E點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為E′，利用關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），根據(jù)對稱的性質(zhì)得FD=FD′，GE=GE′，于是FD+FG+GE=D′E′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時四邊形EDFG周長的最小，然后利用勾股定理計(jì)算出D′E′=，于是可對④進(jìn)行判斷．

【解答】解：當(dāng)a＜x＜b時，y＞0，所以①錯誤；

拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，當(dāng)a=﹣1，即A（﹣1，0），而點(diǎn)A與點(diǎn)B為對稱點(diǎn)，則B（3，0），所以②正確；

因?yàn)閤₁＜1＜x₂，所以點(diǎn)P和Q在對稱軸兩側(cè)，而x₁+x₂＞2，則點(diǎn)Q比點(diǎn)P離對稱軸的距離要大，所以y₁＞y₂，所以③正確；

當(dāng)m=2時，y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，則D（1，4），C（0，3），

∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為E，

∴E（2，3），

∴DE==，

作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D′，E點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為E′，則D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），

∴FD=FD′，GE=GE′，

∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，

∴此時四邊形EDFG周長的最小，

而D′E′==，

∴四邊形EDFG周長的最小值為+，所以④錯誤．

故答案為②③．

【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和求最短路徑的解決方法．