Question

【題目】在十進制的表示中，三個依次增大的兩位數恰構成公差為6的等差數列；而在五進制的表示中，這三個數的數字和是依次減少的．符合這樣要求的等差數列有多少個？

Answer 1

【答案】綜上共有6組：

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76．

【解析】

試題分析：設出這三個數分別為X、X+6、X+6+6．進一步由五進制數的特點，分情況探討得出答案即可．

解：設三個數分別為X、X+6、X+6+6．

兩位數化為五進制數，最小20，最大400，也就是這三個數的五進制數必然是2位或3位．最小的數必然是2位．

設其五進制數形式后兩位為AB，則根據題意“在五進制的表示中，這三個數的數字和依次減少”知

AB+11時發(fā)生一次進位，AB+22 時發(fā)生兩次進位．

【由十進制加法，進位1次，數字和少9得到的推論】

因此有：

①AB+11進位在A上，AB+22進位在A、B上：

B+1＜5，B+2≥5，B=3

A+1＞5，A＜5，A=4

則由[43]5=23、[143]5=48、[243]5=73、[343]5=98（舍棄）

得這三個數可能是

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

②AB+11進位在B上，AB+22進位在A、B上：

B＜5，B+1≥5，B=4

A+1+1＜5，A+2+1≥5，A=2

則由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=64、[324]5=89（舍棄）

得這三個數可能是

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76；

綜上共有6組：

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76．