Question

（1）請(qǐng)從1，2，3，…，2011中找出1006個(gè)數(shù)，使得這1006個(gè)數(shù)中不存在兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)．
（2）證明：從1，2，3，…，2011中，任意取出1007個(gè)數(shù)，其中都存在兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)．

Answer 1

證明：由于任何一個(gè)自然數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與2ⁿ和乘積的形式，而且這種表示方法是惟一的．因此，我們可以按下面的方法來(lái)構(gòu)造1006個(gè)抽屜：
{1，1×2，1×2²，1×2³，1×2⁴，1×2⁵，1×2⁶，1×2⁷，1×2⁸，1×2⁹，1×2¹⁰}；
{3，3×2，3×2²，3×2³，3×2⁴，3×2⁵，3×2⁶，3×2⁷，3×2⁸，3×2⁹}；
{5，5×2，5×2²，5×2³，5×2⁴，5×2⁵，5×2⁶，5×2⁷，5×2⁸}；
…；
{1005，1005×2}；
{1007}；
{1009}；
…；
{2011}．
（1）從這1006個(gè)抽屜中每個(gè)中取1個(gè)數(shù)，共取1006個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原則，能夠從1，2，3，…，2011中找出1006個(gè)數(shù)，使得這1006個(gè)數(shù)中不存在兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)；（2）從這1006個(gè)抽屜中任取1007個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原則，從1，2，3，…，2011中，任意取出1007個(gè)數(shù)，其中都存在兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)．
分析：根據(jù)抽屜原理：任何一個(gè)自然數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與2ⁿ和乘積的形式，而且這種表示方法是惟一的．可構(gòu)造1006個(gè)抽屜，從而驗(yàn)證這兩個(gè)結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道競(jìng)賽題，考查了抽屜原理，解決此題的關(guān)鍵是寫(xiě)出這1006個(gè)抽屜．