Question

某花園的小徑如右圖所示．一個人能不能從圖中第1個點的位置出發(fā)，不重復(fù)地走過所有小徑？如果能，請標(biāo)出所經(jīng)過各點的順序（如：1→2→3→…→1）如果不能，請標(biāo)出至少必須重復(fù)的小徑（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．

Answer 1

考點：一筆畫定理,多筆畫定理

專題：幾何的計算與計數(shù)專題

分析：首先這個圖有8個奇點，那么不能一筆畫出，筆畫數(shù)恰等于奇點個數(shù)的一半．事實上，對于任意的連通圖來說，如果有2n個奇點（n 為自然數(shù)），那么這個圖一定可以用n筆畫成．公式如下：奇點數(shù)÷2=筆畫數(shù)，所以需要8÷2=4筆畫出這個圖，那么需要重復(fù)其中的3條．

解答： 解：圖中1～8這八個點都是奇點，所以不能無重復(fù)地走完各小徑；
要想連貫地走完各條小徑，就要重復(fù)走某些小徑，可以這樣想，把兩個奇點之間連一條線，那么就有兩個奇點變成了偶點，對于本題來說就是重復(fù)一次，即兩個奇點之間多走一次．最后當(dāng)把奇點數(shù)壓縮到2個時，方可一筆畫成，一共8個奇點，就需減少6個奇點，可以連3和4、5和6、7和8，最后剩下兩個奇點，須重復(fù)的小徑至少需要3條，比如3→4，5→6，7→8．

點評：本題考查一筆畫的特點：是連通圖，由偶點組成的，或只有兩個奇點的連通圖才能一筆畫成，以及多筆畫筆畫數(shù)的計算公式：筆畫數(shù)=奇點數(shù)÷2．