Question

把6cm×10cm的長(zhǎng)方形沿點(diǎn)線分割成4個(gè)圖形，請(qǐng)按下面兩個(gè)要求分割．
①分割后的4個(gè)圖形，面積可大可小，但它們應(yīng)該互為相似形．
②分割后的4個(gè)圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形．
請(qǐng)回答出4種分割方法，并分別在解答欄中用實(shí)線畫出．（翻轉(zhuǎn)后如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法．）

Answer 1

考點(diǎn)：圖形劃分

專題：平面圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：把一個(gè)多邊形的各邊都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)后與另一個(gè)多邊形的每一對(duì)應(yīng)邊都完全重合，這樣的兩個(gè)多邊形就是相似形．例如，所有的等邊三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的．
把大長(zhǎng)方形沿點(diǎn)線分割成4部分，可以將其分成四個(gè)長(zhǎng)方形．根據(jù)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的不同比值，結(jié)合題意，枚舉出每一類可能分割出的長(zhǎng)方形，看用哪一類中的4個(gè)長(zhǎng)方形（面積不同的）能拼出6cm×10cm的長(zhǎng)方形（為了敘述方便，下面省去單位），據(jù)此即可解答問題．

解答： 解：（一）1×n形（即長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比是1：n，n是整數(shù)）
（l）最小的長(zhǎng)方形是1×1，與它相似的長(zhǎng)方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6．
可以分割出6×6的長(zhǎng)方形（見圖1）．

不能分割出5×5的長(zhǎng)方形（見圖2），因?yàn)椴徽摪?×5的長(zhǎng)方形放在6×10的長(zhǎng)方形中的哪一位置，在這個(gè)5×5的長(zhǎng)方形的上邊（或下邊）的5個(gè)小正方形，只能分割成5塊1×1的長(zhǎng)方形，這顯然不合題意．
分割出的長(zhǎng)方形中最大的不可能是4×4或更小的．因?yàn)椋?×4）×4=64＞6×10，（4×4）×3+（3×3）×1=57＜6×10．
（2）最小的長(zhǎng)方形是1×2，與其相似的長(zhǎng)方形有2×4，3×6，4×8，5×10．
不能分割出5×10的長(zhǎng)方形（分析同（1）中 5×5）．
也不能分割出4×8的長(zhǎng)方形（見圖3），因?yàn)?×10-（4×8）×1=32，（2×4）×3=24＜32．

還不能分割出3×6的長(zhǎng)方形．不能分出4個(gè)3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋?×6）×4=72＞6×10．不能分出3個(gè)3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)?×10-（3×6）×3=6，1×2=2＜6，2×4=8＞6．不能分出2個(gè)3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)?0-（3×6）×2=24，（2×4）×2=16＜24，也不能分出1個(gè) 3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋?×6）×l+（2×4）×3=42＜60．
更不能分割出2×4或回1×2的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋?×4）×4=32＜6×10．
（3）最小的長(zhǎng)方形是1×3，與其相似的長(zhǎng)方形有2×6，3×9．
可以分割出3×9的長(zhǎng)方形（見圖4）．

不能分割出2×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋?×6）×4=48＜6×10．
（4）最小的長(zhǎng)方形是1×4，與其相似的長(zhǎng)方形有2×8，這樣的兩個(gè)長(zhǎng)方形都不能分割出來．因?yàn)椋?×8）×4=64＞6×10，（2×8）×3+（1×4）×1=52＜6×10．
（5）最小的長(zhǎng)方形是1×5，與其相似的長(zhǎng)方形有2×10，這樣的兩個(gè)長(zhǎng)方形都不能分割出來．因?yàn)椋?×10）×3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50＜6×10．
（6）同樣可以證明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10這些長(zhǎng)方形．

（二）對(duì)于2×n、3×n、4×n、5×n形的長(zhǎng)方形，按照（一）的分析方法，可以找到一種符合題意的分割方法，如下圖所示：

也可以把6×10的長(zhǎng)方形沿點(diǎn)線分割成其他多邊形，如下圖所示：

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圖形的劃分，關(guān)鍵是明確相似形的定義，從而確定出分割成的各個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，是個(gè)難題．