題型1：算法概念

例1．下列說法正確的是(　 )

A．算法就是某個問題的解題過程；

B．算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結果；

C．解決某一個具體問題算法不同結果不同；

D．算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無法實施。

解析：答案為選項B；選項B，例如：判斷一個整數(shù)是否為偶數(shù)，結果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項A ，算法不能等同于解法；選項C，解決某一個具體問題算法不同結果應該相同，否則算法構造的有問題；選項D，算法可以為很多次，但不可以無限次。

點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算。只要按部就班去做，總能算出結果。通常把算法過程稱為“數(shù)學機械化”。數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成；實際上處理任何問題都需要算法。如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關的手續(xù)……。

例2．下列語句中是算法的個數(shù)為(　 )

①從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎；

②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事；

③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹；

④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積.

A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　 C．3　　　　　 　　　D．4

解析：正確選項為C，③中我們對“樹的大小”沒有明確的標準，無法完成任務，不是有效的算法構造。①中，勾畫了從濟南到巴黎的行程安排，完成了任務；②中，節(jié)約時間，燒水泡茶完成了任務；④中，純數(shù)學問題，借助正、余弦定理解三角形，進而求出三角形的面積。

點評：算法過程要做到能一步一步的執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問題的結果.

題型2：經(jīng)典算法

例3．一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊。該人如何將動物轉移過河？請設計算法？

解析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢，具體算法如下：

算法步驟：

第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回；

第二步：人帶一只狼過河，自己返回；

第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回；

第四步：人帶一只羊過河，自己返回；

第五步：人帶兩只狼過河.

點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當?shù)摹＿@就要求我們在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴密性和完整性。本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中，很多較復雜的問題經(jīng)常遇到這樣的問題，設計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率。

例4．這是中國古代的一個著名算法案例：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿48，要數(shù)腦袋17，多少小兔多少雞？

解析：求解雞兔的問題簡單直觀，卻包含著深刻的算法思想。應用解二元一次方程組的方法來求解雞兔同籠問題.

第一步：設有小雞x只，小兔y只，則有

第二步：將方程組中的第一個方程兩變乘－2加到第二個方程中去，得到，得到y(tǒng)=7；

第三步：將y=7代入(1)得x=10。

點評：解決這些問題的基本思想并不復雜，很清晰，但敘述起來很煩瑣，有的步驟非常多，有的計算量很大，有時候完全依靠人力完成這些工作很困難。但是這些恰恰是計算機的長處，它能不厭其煩的枯燥的、重復的、繁瑣的工作。但算法也有優(yōu)劣，我們要追求高效。

題型3：順序結構

例5．寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點的算法。

解析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關系變成已知的比例關系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務.

算法分析：

第一步：從已知線段的左端點A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP；

第二步：在射線上任取一個不同于端點A的點C，得到線段AC；

第三步：在射線上延AC的方向截取線段CE=AC；

第四步：在射線上延AC的方向截取線段EF=AC；

第五步：在射線上延AC的方向截取線段FG=AC；

第六步：在射線上延AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AB；

第七步：連接DB；

第八步：過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點M就是線段AB的一個5等分點。

程序框圖：

點評：這個算法步驟具有一般性，對于任意自然數(shù)n，都可以按照這個算法的思想，設計出確定線段的n等分點的步驟，解決問題。

例6．有關專家建議，在未來幾年內(nèi)，中國的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對我國經(jīng)濟的穩(wěn)定有利無害。所謂通貨膨脹率為3%，指的是每年消費品的價格增長率為3%。在這種情況下，某種品牌的鋼琴2004年的價格是10 000元，請用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價格變化情況，并輸出四年后的價格.

解析：用P表示鋼琴的價格，不難看出如下算法步驟：

2005年P=10000×(1+3%)=10300；

2006年P=10300×(1+3%)=10609；

2007年P=10609×(1+3%)=10927.27；

2008年P=10927.27×(1+3%)=11255.09；

因此，價格的變化情況表為：

程序框圖為：

點評：順序結構只須嚴格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學問題的解題思路，將問題解決掉。最后將解題步驟 “細化”就可以�！凹毣�”指的是寫出算法步驟、畫出程序框圖.

題型4：條件結構

例7．設計算法判斷一元二次方程是否有實數(shù)根，并畫出相應的程序框圖。

解析：算法步驟如下：

第一步：輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c；

第二步：計算△的值；

第三步：判斷△≥0是否成立。若△≥0成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”。結束算法。

相應的程序框圖如下：

點評：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計算判別式△的值。再分成兩種情況處理：(1)當△≥0時，一元二次方程有實數(shù)根；(2)當△＜0時，一元二次方程無實數(shù)根。該問題實際上是一個分類討論問題，根據(jù)一元二次方程系數(shù)的不同情況，最后結果就不同。因而當給出一個一元二次方程時，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解。該例僅用順序結構是辦不到的，要對判別式的值進行判斷，需要用到條件結構.

(2009年廣東卷文)某籃球隊6名主力隊員在最近三場比賽中投進的三分球個數(shù)如下表所示：

隊員i	1	2	3	4	5	6
三分球個數(shù)

下圖(右)是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應填　　　 　，輸出的s=　　　

(注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“←”或“：=”)

[解析]順為是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的程序框圖，所圖中判斷框應填，輸出的s=.

答案　 ,

例8．(1)設計算法，求的解，并畫出流程圖。

解析：對于方程來講，應該分情況討論方程的解.

我們要對一次項系數(shù)a和常數(shù)項b的取值情況進行分類，分類如下：

(1)當a≠0時，方程有唯一的實數(shù)解是；

(2)當a=0，b=0時，全體實數(shù)都是方程的解；

(3)當a=0，b≠0時，方程無解.

聯(lián)想數(shù)學中的分類討論的處理方式�？傻萌缦滤惴ú襟E：

第一步：判斷a是否不為零。若成立，輸出結果“解為”；

第二步：判斷a=0，b=0是否同時成立。若成立，輸出結果“解集為R”；

第三步：判斷a=0，b≠0是否同時成立。若成立，輸出結果“方程無解”，結束。

程序框圖：

(2)。設計算法，找出輸入的三個不相等實數(shù)a、b、c中的最大值，并畫出流程圖。

解析：算法步驟：

第一步：輸入a，b，c的值；

第二步：判斷a>b是否成立，若成立，則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步；

第三步：判斷a>c是否成立，若成立，則輸出a，并結束；否則輸出c，并結束；

第四步：判斷b>c是否成立，若成立，則輸出b，并結束；否則輸出c，并結束。

程序框圖：

點評：條件結構嵌套與條件結構疊加的區(qū)別是：

(1)條件結構疊加，程序執(zhí)行時需依次對“條件1”、“條件2”、“條件3”……都進行判斷只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對應的操作.

(2)條件結構的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個分支，“條件3”是“條件2”的一個分支，……依此類推，這些條件中很多在算法執(zhí)行過程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行。

(3)條件結構嵌套所涉及的“條件2”、“條件3”……是在前面的所有條件依次一個一個的滿足“分支條件成立”的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個條件同時成立的疊加和復合。

題型5：循環(huán)結構

例9．設計一個算法，求的值，并劃出程序框圖。。

解析：算法步驟：

第一步：sum=0；

第二步：i=0；

第三步：sum=sum+2ⁱ；

第四步：i=i+1；

第五步：判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結束；否則返回第三步重新執(zhí)行。

程序框圖：

點評：

1．如果算法問題里涉及的運算進行了許多次重復的操作，且先后參與運算的數(shù)之間有相同的規(guī)律，就可引入變量循環(huán)參與運算(我們稱之為循環(huán)變量)，應用于循環(huán)結構。在循環(huán)結構中，要注意根據(jù)條件設計合理的計數(shù)變量、累加和累乘變量及其個數(shù)等，特別要求條件的表述要恰當、精確.

3．幾種重要的結構

(1)順序結構

順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的。它是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。

見示意圖和實例：

順序結構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。

(2)條件結構

如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個條件結構，此結構中含有一個判斷框，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件P是否成立，選擇不同的執(zhí)行框(A框、B框)。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能既執(zhí)行A框又執(zhí)行B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。A框或B框中可以有一個是空的，即不執(zhí)行任何操作.

見示意圖

(3)循環(huán)結構

在一些算法中要求重復執(zhí)行同一操作的結構稱為循環(huán)結構。即從算法某處開始，按照一定條件重復執(zhí)行某一處理過程。重復執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。

循環(huán)結構有兩種形式：當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構。

①當型循環(huán)結構，如左下圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，返回來再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次返回來判斷條件P不成立時為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。

②直到型循環(huán)結構，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立。以次重復操作，直到某一次給定的判斷條件P時成立為止，此時不再返回來執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖.

見示意圖

1．算法的概念

(1)算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等。

在數(shù)學中，現(xiàn)代意義的算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

(2)算法的特征：①確定性：算法的每一步都應當做到準確無誤、“不重不漏”�！安恢亍笔侵覆皇强捎锌蔁o的、甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務。②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)。③有窮性：算法要有明確的開始和結束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務，不能無限制的持續(xù)進行。

(3)算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言.

算法是高中數(shù)學課程中的新內(nèi)容，本章的重點是算法的概念和算法的三種邏輯結構。

預測2010年高考對本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點是算法的概念.

2．通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中(如，三元一次方程組求解等問題)，理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環(huán).

1．通過對解決具體問題過程與步驟的分析(如，二元一次方程組求解等問題)，體會算法的思想，了解算法的含義；

3．單位制．

教學難點

　　 統(tǒng)一單位后，計算過程的正確書寫．

教學方法：

探究、講授、討論、練習

教學手段：

教具準備

　　 多媒體課件

課時安排：

新授課(2課時)

教學過程：

[新課導入]

　　 展示張飛和姚明的圖片

　　 師：大家都認識這兩個人吧．

　　 生：認識，一個是張飛，一個是姚明．

　　 師：那么大家知道他們的身高是多少呢?

　　 生：《三國演義)上說張飛身高9尺．

　　 師：按照現(xiàn)在的計算方法，張飛的身高應該是多少?

　　 生：三尺是1 m，張飛的身高應該是3m．

　　 師：姚明在當代應該是身高很高的人了，他的身高是多少?

　　 生：2．26m．看起來張飛要比姚明高很多，打籃球一定1。a厲害．

　　 師：并不是張飛比姚明高，而是古代的尺和現(xiàn)代的尺不一樣．在我國有“伸掌為尺”的說法，我國三國時期(公元3世紀初)王肅編的《孔子家語》一書中記載有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知尋．”兩臂伸開長八尺，就是一尋；從秦朝(約公元前221年)至清末(約公元1911年)的2 000多年間，我國的“尺”竟由1尺相當于0．230 9m到0．355 8m的變化，其差別相當懸殊．

　　 師：大家如果經(jīng)�？碞BA介紹時會發(fā)現(xiàn)姚明的身高并不是說成2．26m，而是怎樣介紹的呢?

　　 生：我記得好像是幾英尺幾英寸，具體數(shù)值記不清了．

　　 師：1英尺等于0．304 8m，1英寸為2．54 cm．大家如果不記得的話可以重新計算一下，也可以計算一下自己的身高是多少．大家知道尺和英尺是怎樣來得嗎?

　　 生：不知道．

　　 多媒體介紹　　 ．

　　 在古代，人們常用身體的某些器官或部位的尺度作為計量單位．在遙遠的古埃及時代，人們用中指來衡量人體的身長，認為健美的人身長應該是中指長度的19倍．各個國家，地區(qū)以及各個歷史時期，都有各自的計量單位．僅以長度為例，歐洲曾以手掌的寬度或長度作為長度的計量單位，稱為掌尺．在英國，1掌尺相當于7．62 cm而在荷蘭，1掌尺卻相當于10cm．英尺是8世紀英王的腳長，1英尺等于0.304 8 m．10世紀時英王埃德加把自己大拇指關節(jié)間的距離定為1英寸．1英寸為2．54cm．這位君王又別出心裁，想出了“碼”這樣

一個長度單位．他把從啟己的鼻尖到伸開手臂中指末端的距離--91 cm，定為1碼．到了1101年，亨利一世在法律上認定了這一度量單位，此后，“碼”便成為英國的主要長度單位，一直沿用了1 000多年．在我國亦有“伸掌為尺”的說法．我國三國時期(公元3世紀初)王肅編的《孔子家語》一書中記載有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知尋．”兩臂伸開長八尼，就是一尋；從秦朝(約公元前221年)至清末(約公元1911年)的2 000多年間，我國的“尺”竟由1尺相當于0．230 9 m到0.355 8m的變化，其差別相當懸殊．

[討論與交流]

2．力學中的三個基本單位．

1．什么是基本單位，什么是導出單位．