題目列表(包括答案和解析)
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已知函數(shù)
(1) 若函數(shù)在
上單調(diào),求
的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上的最大值是
,求
的取值范圍.
【解析】第一問(wèn),
,
、
第二問(wèn)中,
由(1)知: 當(dāng)時(shí),
上單調(diào)遞增
滿足條件當(dāng)
時(shí),
解: (1) ……3分
,
…………….7分
(2)
由(1)知: 當(dāng)時(shí),
上單調(diào)遞增
滿足條件…………..10分
當(dāng)時(shí),
且
…………13分
綜上所述:
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求曲線
處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求
的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用,表示出點(diǎn)
的斜率值
這樣可以得到切線方程。(2)中,當(dāng)
,再令
,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性,進(jìn)而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說(shuō)明了
在區(qū)間
導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。
解:(1)當(dāng)……2分
∴
即為所求切線方程�!�4分
(2)當(dāng)
令………………6分
∴遞減,在(3,+
)遞增
∴的極大值為
…………8分
(3)
①若上單調(diào)遞增�!酀M足要求�!�10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時(shí),不合題意。綜上所述,實(shí)數(shù)
的取值范圍是
已知冪函數(shù)滿足
。
(1)求實(shí)數(shù)k的值,并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)的解析式;
(2)對(duì)于(1)中的函數(shù),試判斷是否存在正數(shù)m,使函數(shù)
,在區(qū)間上的最大值為5。若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運(yùn)用。第一問(wèn)中利用,冪函數(shù)滿足
,得到
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159381726566489_ST.files/image007.png">,所以k=0,或k=1,故解析式為
(2)由(1)知,,
,因此拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸方程為:
,結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,和開(kāi)口求解最大值為5.,得到
(1)對(duì)于冪函數(shù)滿足
,
因此,解得
,………………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159381726566489_ST.files/image007.png">,所以k=0,或k=1,當(dāng)k=0時(shí),,
當(dāng)k=1時(shí),,綜上所述,k的值為0或1,
�!�6分
(2)函數(shù),………………7分
由此要求,因此拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸方程為:
,
當(dāng)時(shí),
,因?yàn)樵趨^(qū)間
上的最大值為5,
所以,或
…………………………………………10分
解得滿足題意
設(shè)函數(shù).
(I)求的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)0<a<2時(shí),求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值.
【解析】第一問(wèn)定義域?yàn)檎鏀?shù)大于零,得到.
.
令,則
,所以
或
,得到結(jié)論。
第二問(wèn)中, (
).
.
因?yàn)?<a<2,所以,
.令
可得
.
對(duì)參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù).
(I)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">. ………………………1分
.
令,則
,所以
或
. ……………………3分
因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">,所以.
令,則
,所以
.
因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">,所以. ………………………5分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,
單調(diào)遞減區(qū)間為.
………………………7分
(II) (
).
.
因?yàn)?<a<2,所以,
.令
可得
.…………9分
所以函數(shù)在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù).
①當(dāng),即
時(shí),
在區(qū)間上,
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù).
所以. ………………………10分
②當(dāng),即
時(shí),
在區(qū)間
上為減函數(shù).
所以.
綜上所述,當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
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