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．兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖2中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作，第2個五角形數記作，第3個五角形數記作，第4個五角形數記作，……，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則  ，若，則  ．

 

 

 

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一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．

二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．

一．選擇題：BBDC   DDAD

1．將各選項代入檢驗易得答案選B.

2．，圖中陰影部分表示的集合為,選B.

3．由函數以為周期，可排除A、B，由函數在為增函數，可排除C,故選D。

4．或

或，故選C。

5．該程序的功能是求和,因輸出結果，故選D.

6．由已知得即

，故選D.

7．如圖：易得答案選A.

8．若成立，依題意則應有當時，均有成立，故A不成立,

若成立，依題意則應有當時，均有成立，故B不成立,

因命題“當成立時，總可推 出成立”．“當成立時，總可推出成立”．因而若成立，則當時，均有成立 ，故C也不成立。對于D，事實上，依題意知當時，均有成立，故D成立。

二．填空題：9.800、20％；10. ；11. 3；12. ①③④⑤；13. ；14. 2或8；15.

9. 由率分布直方圖知，及格率＝＝80％，

及格人數＝80％×1000＝800，優(yōu)秀率＝％.

10．解一：任取3個球有C種結果，編號之和為奇數的結果數為CC+ C=60，故所求概率為.

解二：十個球的編號中，恰好有5個奇數和5個偶數，從中任取3個球，3個球編號之和為奇數與3個球編號之和為偶數的機會是均等的，故所求概率為.

11．由平面向量的坐標表示可得：

由，得.

12．由三視圖知該幾何體是底面為正方形的長方體，

顯然①可能，②不可能，③④⑤如右圖知都有可能。

13．在平面直角坐標系中，曲線和分別表示圓和直線，易知＝

14． 由，得或8

15．解法1：∵PA切于點A，B為PO中點，

∴AB=OB=OA, ∴,∴,在△POD中由余弦定理

得=

∴.

解法2：過點D作DE⊥PC垂足為E，∵，∴,可得,,在中，∴

三．解答題：

16．解：（1）

              ------------------------4分

（2）∵，

∴,

由正弦定理得：

∴------------6分

如圖過點B作垂直于對岸，垂足為D,則BD的長就是該河段的寬度。

在中，∵,------------8分

∴＝

       （米）

∴該河段的寬度米。---------------------------12分

17．(1)解：∵

∴且,

∴平面------------ ----------------2分

在中， ,

中，

∵,

∴.--------------4分

(2)證法1：由（1）知SA=2, 在中，---6分

∵,∴-------------------8分

證法2：由（1）知平面，∵面，

∴,∵,,∴面

又∵面，∴

(3) 解法1：分別取AB、SA、 BC的中點D、E、F，

連結ED、DF、EF、AF，則,

∴（或其鄰補角）就是異面直線SB和AC所成的角----------10分

∵

在中，

∴,

在中，

在△DEF中，由余弦定理得

∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為-------------------------14分

解法2：以點A為坐標原點，AC所在的直線為y軸建立空間直角坐標系如圖

則可得點A(0,0,0),C(0,1,0),B

∴

設異面直線SB和AC所成的角為

則

∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為。

18．解：（1）依題意知，動點到定點的距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線………………………………2分

　　　　∵      ∴　

∴　曲線方程是………4分

（2）設圓的圓心為，∵圓過，

∴圓的方程為　　……………………………7分

令得：　　

設圓與軸的兩交點分別為，

方法1：不妨設，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵點在拋物線上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴當運動時，弦長為定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵，　

∴

　又∵點在拋物線上，∴， ∴　　

∴當運動時，弦長為定值4〕

19.解：設AN的長為x米（x >2）

       ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

       ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

       ∴       即AN長的取值范圍是----------- 8分

（2）令y＝，則y′＝  -------------- 10分

∵當，y′< 0，∴函數y＝在上為單調遞減函數，

∴當x＝3時y＝取得最大值，即（平方米）

此時|AN|＝3米，|AM|＝米             ---------------------- 12分

20．解：（1）由得----------------------------------------1分

由一元二次方程求根公式得---------------------------3分

∵

∴---------------------------------------------4分

 (2) ∵

∴

         ＝------------------------------------------------------------6分

∵

∴------------------------------------------------------------------------8分

（其它證法請參照給分）

（3）解法1：∵ 

∴

＝-------------------------------------------------10分

∵,∴

∴，∵

∴即

∴數列有最大項，最大項為第一項。---------- -14分

〔解法2：由知數列各項滿足函數

∵

當時，

∴當時，即函數在上為減函數

即有

∴數列有最大項，最大項為第一項。]

21．解：

（1） 

---------------2分

當時，函數有一個零點；--------------3分

當時，，函數有兩個零點。------------4分

（2）令，則

 ，

在內必有一個實根。即，使成立。------------8分

（3）       假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且

∴

   -------------------------10分

由②知對,都有

令得