(Ⅱ)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,求的取值范圍． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖，已知橢圓E：的離心率是，P1、P2是橢圓E的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)（P2位于P1右側(cè)），點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ） 過點(diǎn)Q的動(dòng)直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AF并延長交橢圓于點(diǎn)C，連結(jié)BF并延長交橢圓于點(diǎn)D．
①求證：B、C關(guān)于x軸對(duì)稱；
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞o)的左焦點(diǎn)為F（-
2
，0），離心率e=
2
2
，M、N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：
OP
=
OM
+2
ON
，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，問：是否存在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？，若存在，求出F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)M在x軸上的射影為A，連接NA 并延長交橢圓于點(diǎn)B，證明：MN⊥MB．

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已知曲線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之比為常數(shù)．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若過點(diǎn)引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)平分，求弦AB所在的直線方程；

（3）以曲線的左頂點(diǎn)為圓心作圓：，設(shè)圓與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)圓的方程.

【解析】第一問利用（1）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為D.

代入坐標(biāo)得到

第二問當(dāng)斜率k不存在時(shí)，檢驗(yàn)得不符合要求；

當(dāng)直線l的斜率為k時(shí)，；，化簡得

第三問點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于X軸對(duì)稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以．

由已知，則

，

由于，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．

計(jì)算得，，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓T的方程為：

 

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（本小題滿分12分）
如圖，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)在軸上的射影，坐標(biāo)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足：（為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程并畫出草圖；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求直線的方程．

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（本小題滿分12分）
如圖，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)在軸上的射影，坐標(biāo)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足：（為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程并畫出草圖；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求直線的方程．

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一、選擇題

AACCD   BBDDD   AC

二、填空題

13．    14．T13    15．①⑤    16．

三、解答題

17．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，

由正弦定理，得，              ……3分

整理，得

因?yàn)?sub>、、是的三內(nèi)角，所以，    

因此  ．                                                 ……6分

   （Ⅱ），即，                ……8分

由余弦定理，得，所以，      ……10分

解方程組，得 ．                       ……12分

18．（本題滿分12分）

解法一：記與的比賽為，

  （Ⅰ）齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：

，,

, ,

, ．　　………………………３分

　　其中田忌獲勝的只有一種，所以田忌獲勝的概率為．

　　　…………………………………………………………………………………………６分

（Ⅱ）已知齊王第一場必出上等馬，若田忌第一場出上等馬或中等馬，則剩下兩場中至少輸?shù)粢粓觯@時(shí)田忌必?cái)。?/p>

為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應(yīng)出下等馬，后兩場有兩種情形：

①若齊王第二場派出中等馬，可能對(duì)陣情形是、

或者、，所以田忌獲勝的概率為；　………………………９分

②若齊王第二場派出下等馬，可能對(duì)陣情形是、

或者、，所以田忌獲勝的概率為，

所以田忌按或者的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達(dá)到最大值．

　　　………………………………………………………………………………………１２分

解法二：各種對(duì)陣情況列成下列表格：

 

 

1

2

3

4

5

6

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………３分

（Ⅰ）其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，所以田忌獲勝的概率為．……６分

（Ⅱ）為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應(yīng)出下等馬，即只能是第五、第六兩種情形．　　…………………………………………………９分

其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，所以田忌按或者的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達(dá)到最大值．………………………１２分

19．（本題滿分12分）

解證: （Ⅰ） 連結(jié)連結(jié)，

∵四邊形是矩形 

∴為中點(diǎn)

又為中點(diǎn),從而∥ ------------3分

∵平面,平面

∴∥平面。-----------------------5分

（Ⅱ）（方法1）

三角形的面積-------------------8分

到平面的距離為的高 

∴---------------------------------11分

因此，三棱錐的體積為。------------------------------------12分

（方法2）

，

，

∴為等腰，取底邊的中點(diǎn)，

則，

∴的面積　-----------8分

∵，∴點(diǎn)到平面的距離等于到平面

的距離，

由于，，

∴ ，

過作于，則就是到平面的距離，

又，----------11分

---------------------12分

（方法３）

到平面的距離為的高 

∴四棱錐的體積------------------------9分

三棱錐的體積

  ∴---------------------------------------------11分

       因此，三棱錐的體積為。-------------------------------------12分

20．（Ⅰ）依題意知,                                                     

∵,

∴．                                        

∴所求橢圓的方程為．                     ……4分              

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，

∴                            ……6分                 

解得：，．                 ……8分               

∴．                                ……10分           

∵ 點(diǎn)在橢圓:上,

∴, 則．

∴的取值范圍為．                      ……12分

21．解：（Ⅰ）由知，定義域?yàn)?sub>，

．     ……………………3分

當(dāng)時(shí)，,                    ………………4分

當(dāng)時(shí)， ．                            ………………5分

所以的單調(diào)增區(qū)間是,

的單調(diào)減區(qū)間是．           …………………… ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)或時(shí)，

, 所以的極大值為，

極小值為． 　　………………………8分

又因?yàn)?sub>,　

,  ………１０分

所以在的三個(gè)單調(diào)區(qū)間上，

直線與的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng), 因此，

的取值范圍為．   ………………12分

22．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，　　……………………………3分

       ∴=

      =

      =

      =　　…………………………………7分

       （Ⅱ）  

  +

+

=

=　……………13分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，最�。�14分

 


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