已知拋物線y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常數）
（1）通過配方，寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）求證：不論k取任何實數，拋物線的頂點都在某一次函數的圖象上．并指出此一次函數的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為A（0，1），其頂點為B．試問：在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡述理由．

（2003•茂名）已知拋物線y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常數）
（1）通過配方，寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）求證：不論k取任何實數，拋物線的頂點都在某一次函數的圖象上．并指出此一次函數的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為A（0，1），其頂點為B．試問：在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡述理由．

（2003•茂名）已知拋物線y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常數）
（1）通過配方，寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）求證：不論k取任何實數，拋物線的頂點都在某一次函數的圖象上．并指出此一次函數的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為A（0，1），其頂點為B．試問：在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡述理由．