題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:
,設(shè)
,
若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)
,
恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點(diǎn)
在
軸上,點(diǎn)
在
軸的正半軸,點(diǎn)
在直線
上,且滿足
,
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在
軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)
的軌跡
方程;
(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(本小題滿分14分)
已知,其中
是自然常數(shù),
(1)討論時(shí),
的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,對(duì)任意的正整數(shù)
,都有
成立,記
。
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求證:對(duì)任意正整數(shù)
都有
;
(III)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足:對(duì)任意正整數(shù)
恒成立,求
的最小值。
一、選擇題(每小題5分,共60分)
BDACC ACDDB AA
二、填空題(每小題4分,共16分)
13. 14.
15.
16.②③
三、解答題(共74分)
17.解:(I)由正弦定理,有
代入得
即
(Ⅱ)
由得
所以,當(dāng)時(shí),
取得最小值為0
18.解:(I)由已知得
故
即
故數(shù)列為等比數(shù)列,且
又當(dāng)時(shí),
而亦適合上式
(Ⅱ)
所以
19.解:(I)由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐的底面的邊長(zhǎng)為1的正方
側(cè)棱底面
,且
,
(Ⅱ)連結(jié)交
于
,則
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn),
,
又平面
內(nèi),
平面
(Ⅲ)不論點(diǎn)E在何位置,都有
證明:連結(jié)是正方形,
底面
,且
平面
,
又平面
不論點(diǎn)
在何位置,都有
平面
不論點(diǎn)E在何位置,都有
。
20.解:
(I)利用樹(shù)形圖我們可以列出連續(xù)抽取2張卡片的所有可能結(jié)果(如下圖所示)。
由上圖可以看出,實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為20,因?yàn)槊看味茧S機(jī)抽取,因此這20種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,實(shí)驗(yàn)屬于古典概型。 用表示事“連續(xù)抽取2人都是女生”。則
與
互斥,并且
表示事件“連續(xù)抽取2張卡片,取出的2人不全是男生”,由列出的所有可能結(jié)果可以看出,
的結(jié)果有12種,
的結(jié)果有2種,由互斥事件的概率加法公式,可得
即連續(xù)抽取2張卡片,取出的2人不全是男生的概率為0.7
(Ⅱ)有放回地連續(xù)抽取2張卡片,需注意同一張卡片可再次被取出,并且它被取出的可能性和其他卡片相等,我們用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)表示抽取的結(jié)果,例如“第一次取出2號(hào),第二次取出4號(hào)”就用(2,4)來(lái)表示,所有的可能結(jié)果可以用下表列出。
第二次抽取
第一次抽取
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為25,并且這25種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,實(shí)驗(yàn)屬于古典型。
用表示事件“獨(dú)唱和朗誦由同一個(gè)人表演”,由上表可以看出,
的結(jié)果共
有5種,因次獨(dú)唱和朗誦由同一個(gè)人表演的概率
21.解:
(I)
依題意由
即 解得
,得
的單調(diào)遞減區(qū)間是
(Ⅱ)由得
不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示;
由 得
不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示;
由 得
點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1)
設(shè),則
表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)
與點(diǎn)
連線斜率。
,由圖可知
或
即
22.解:(I)設(shè)橢圓方程為
則根據(jù)題意,雙曲線的方程為
且滿足
解方程組得
橢圓的方程為
,雙曲線的方程
(Ⅱ)由(I)得
設(shè),則由
得
為
的中點(diǎn),所以
點(diǎn)坐標(biāo)為
,
將、
坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程,得
消去,得
解之得或
(舍)
所以,由此可得
,
所以
當(dāng)為
時(shí),直線
的方程是
即:
代入,得
所以或-5(舍)
所以,
軸。
所以
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