一、選擇題
1―5 ADBAC 6―10 BCDCD 11―12 AB
二、填空題
13.24 14.24個 15.144
16.②
三、解答題
17.解:隨機猜對問題A的概率p1=
,隨機猜對問題B的概率p2=
.………1分
回答問題的順序有兩種,分別討論如下:
(1)先回答問題A,再回答問題B.
參與者獲獎金額ξ可取0,m,m+n.,則
P(ξ=0)=1-p1=
,P(ξ=m)=p1(1-p2)=
,P(ξ=m+n)=p1p2=
.
Eξ=0×
+m×
+(m+n)×
=
.
………5分
(2)先回答問題B,再回答問題A.
參與者獲獎金額η可取0,n,m+n.,則
P(η=0)=1-p2=
,P(η=n)=p2(1-p1)=
,P(η=m+n)=p2p1=
.
Eη=0×
+n×
+(m+n)×
=
.
………9分
Eξ-Eη=(
)-(
)=學%20%20%20%20(word版).files/image151.gif)
于是,當
>
時,Eξ>Eη,先回答問題A,再回答問題B,獲獎的期望值較大;
當
=
時,Eξ=Eη,兩種順序獲獎的期望值相等;
當
<
時,Eξ<Eη,先回答問題B,再回答問題A,獲獎的期望值較大. ………12分
18.解:(1)學%20%20%20%20(word版).files/image157.gif)
………3分
∵角A為鈍角,
……………………………4分
取值最小值,
其最小值為
……………………6分
(2)由
………………8分
,
…………10分
在△
中,由正弦定理得:
……12分
19.(Ⅰ)證法一:取
的中點G,連結(jié)FG、AG,
依題意可知:GF是
的中位線,
則
GF∥
且
,
AE∥
且
,
所以GF∥AE,且GF=AE,即四邊形AEFG為平行四邊形,………3分
則EF∥AG,又AG
平面
,EF
平面
,
所以EF∥平面
.
………6分
證法二:取DC的中點G,連結(jié)FG,GE.
∵
∥
,
平面
,∴FG∥平面
.
同理:
∥平面
,且
,
∴平面EFG∥平面
,
………3分
平面
,
∴EF∥平面
.
………6分
證法三:連結(jié)EC延長交AD于K,連結(jié)
,E、F分別CK、CD1的中點,
所以 FE∥D1K
………3分
∵FE∥D1K,
平面
,學%20%20%20%20(word版).files/image211.gif)
平面
,∴EF∥平面
.
………6分
(Ⅱ)解法一:
⊥平面ABCD,過D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC于H,連接D1H.
∵DH是D1H在平面ABCD內(nèi)的射影,∴D1H⊥EC.
∴∠DHD1為二面角
的平面角。即∠DHD1=
.
………8分
在△DHD1中,tan∠DHD1=
,∴
,
=
,
∴
,∴
,∴
,∴
. ………12分
解法二:以D為原點,AD、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系。
D(0,0,0),D1(0,0,1),E(1,x,0)、C(0,2,0)。
平面DEC的法向量
=(0,0,1),設(shè)
為平面D1EC的法向量,
則
∴
∴
。 ………8分
設(shè)二面角
的大小為
,∴cos
=學%20%20%20%20(word版).files/image248.gif)
。
∴
,∴
∵
<2,∴
。
………12分
20.解(Ⅰ)設(shè)
,
,橢圓的方程為
.
∵直線
平行于向量
,
∴
與
=(3,1)共線
∴
.
∴
。
………2分
又∵
、
在橢圓上,∴
∴
,
∴
=-1,
………4分
∴
,∴
,
,∴
.………6分
(Ⅱ)設(shè)
,因為直線AB過
(
,0),所以直線AB的方程為:
,代入橢圓方程中得
∵
∴
,即
,
∴
,
………8分
由
,
∴學%20%20%20%20(word版).files/image312.gif)
∵
,
∴學%20%20%20%20(word版).files/image316.gif)
∴
,
∵
,
,
又因為
,∴
�!�10分
∴
,
∴
,即
。
∴
的軌跡方程
.
………12分
21.解:(1)①直線PQ的斜率學%20%20%20%20(word版).files/image337.gif)
,
由
,所以
,
即直線PQ的斜率學%20%20%20%20(word版).files/image337.gif)
.
…………2分
由
,又
,所以
,
即
圖象上任一點切線的斜率k的取值范圍為
.
…………4分
②
.
…………6分
(2)當
,根據(jù)(1)中②的結(jié)論,得到存在學%20%20%20%20(word版).files/image362.gif)
,學%20%20%20%20(word版).files/image366.gif)
,使得
,
,
…………9分
又
為單調(diào)遞減函數(shù),所以
,即
,而
,所以
,
因為
,所以x>0, 1-x>0
所以
.
…………12分
22.證明:(Ⅰ)連接OD,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,
∵OC∥AD, ∴∠OAD=∠BOC, ∠DOC=∠ODA.
∴∠DOC=∠BOC,∵OD=OB,OC=OC,
∴△DOC≌△BOC.
∴∠ODC=∠OBC.
…………2分
∵BC是⊙O的切線, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,
∴DC是⊙O的切線.
…………5分
(Ⅱ)連接BD, ∵AB是⊙0的直徑, ∴∠ADB=90°,∴∠OBC=∠ADB.
∵∠OAD=∠BOC.
∴△ADB∽△OBC. ∴
,
∴
…………10分
23.解:(Ⅰ)
的參數(shù)方程為
,
即
。
…………5分
(Ⅱ)由學%20%20%20%20(word版).files/image397.gif)
可將
,化簡得
。
將直線
的參數(shù)方程代入圓方程得學%20%20%20%20(word版).files/image403.gif)
∵
,∴
。 …………10分
24.證法一:∵
,∴
,又∵
,
∴
………5分
。 ………10分
證法二:設(shè)
=
,∵
,
當
時,
;
當
,
<0,
是單調(diào)遞減函數(shù),………5分
∵
,∴
,
∴
=
=
;
=
=
。
∴
。
………10分