題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進(jìn)而得到范圍;第二問中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)
時(shí),
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點(diǎn)
,
,
當(dāng),即
時(shí),在(
,+∞)上有
,此時(shí)
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當(dāng),即
時(shí),同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時(shí)在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
(本小題滿分9分)
已知函數(shù)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)求的極大值;
(Ⅲ)求證:對(duì)于任意,函數(shù)
在
上恒成立。
(本小題滿分9分)
已知函數(shù)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)求的極大值;
(Ⅲ)求證:對(duì)于任意,函數(shù)
在
上恒成立。
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點(diǎn)
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中,利用當(dāng)時(shí),
.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(
),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),
.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當(dāng)時(shí),
在
上恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
即
.
……10分
(2)當(dāng)時(shí),令
,對(duì)稱軸
,
則在
上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即
時(shí),
在
上恒成立,
所以在
單調(diào)遞增,
即
,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
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