題目列表(包括答案和解析)
已知點(diǎn)(
),過點(diǎn)
作拋物線
的切線,切點(diǎn)分別為
、
(其中
).
(Ⅰ)若,求
與
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點(diǎn)為圓心的圓
與直線
相切,求圓
的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
中∵直線與曲線
相切,且過點(diǎn)
,∴
,利用求根公式得到結(jié)論先求直線
的方程,再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是
,
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切∴點(diǎn)
到直線
的距離即為圓
的半徑,即
,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓
面積的最小值
(Ⅰ)由可得,
. ------1分
∵直線與曲線
相切,且過點(diǎn)
,∴
,即
,
∴,或
, --------------------3分
同理可得:,或
----------------4分
∵,∴
,
. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
,則
的斜率
,
∴直線的方程為:
,又
,
∴,即
. -----------------7分
∵點(diǎn)到直線
的距離即為圓
的半徑,即
,--------------8分
故圓的面積為
. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是
,
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切∴點(diǎn)
到直線
的距離即為圓
的半徑,即
, ………10分
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即
,
時取等號.
故圓面積的最小值
.
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