19． 已知雙曲線的左.右頂點分別為A.B.右焦點為F(c.0) .右準線為.過點F作直線交雙曲線的右支于P.Q兩點.延長PB交右準線l于M點. (I)求雙曲線的方程, (II)若的面積S, (III)若問是否存在實數(shù).使得.若存在.求出的表達式,若不存在.請說明理由. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題共14分）已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．          

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

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（本小題滿分14分）已知雙曲線的左、右頂點分別為，點，是雙曲線上不同的兩個動點.

（1）求直線與交點的軌跡E的方程

（2若過點的兩條直線和與軌跡E都只有一個交點，且，求的值.

 

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（本小題滿分14分）

已知雙曲線的左、右頂點分別為，點，是雙曲線上不同的兩個動點。

（1）求直線與交點的軌跡的方程；

（2若過點的兩條直線和與軌跡都只有一個交點，且，求的值。

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（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，右準線與軸交于點B，且與一條漸近線交于點C，點O為坐標原點，又，過點F的直線與雙曲線右交于點M、N，點P為點M關于軸的對稱點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）證明：B、P、N三點共線；

（3）求面積的最小值。

 

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（本小題共13分）

已知函數(shù)的反函數(shù)為，數(shù)列和滿足：，，

函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為．

（1）求數(shù)列{}的通項公式；

（2）若數(shù)列的項僅最小，求的取值范圍；

（3）令函數(shù)，數(shù)列滿足：，且

，其中．證明：．

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一、選擇題

1.D  2.B  3.C  4.D  5.C  6.C  7.A  8.C

二、填空題（第一空2分，第二空3分，13題反之）

9．     10．

11．    12．

13．①②③；②    14．

三、解答題

15．解：（1）由已知得，……………………2分

（舍），………………………4分

在三角形ABC中，C=60°. ……………………………6分

（2）…………8分

 又

 ……………………10分

 ……………………13分

16．[解法一]

   （1）證：都為等腰直角三角形，

，………2分

又

……………………4分

   （2）解：連AC1交A1C于E點，取AD中點F，連EF、CF，則EF//C1D

是異面直線A1C與C1D所成的角（或補角）…………5分

在………………8分

則異面直線A1C與C1D所成角的大小為………………9分

   （3）解：延長A1D與AB延長線交于G點，連結CG

過A作AH⊥CG于H點，連A1H，

平面ABC，（三垂線定理）

則是二面角A1―CG―A的平面角，即所求二面角的平面角……10分

在直角三角形ACG中，，

……………………11分

在直角三角形A1AH中，，………………13分

即所求的二面角的大小為…………14分

[解法二]向量法（略）

17．解：（1）∵切線在兩坐標軸上的截距相等，

∴當截距不為零時，設切線方程為，

又∵圓C：，

∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，

即：……………………4分

當截距為零時，設

同理可得

則所求切線的方程為：

或

    （2）∵切線PM與半徑CM垂直，

         ……………………………………8分

        

         ∴動點P的軌跡是直線……………………10分

         ∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.

         而|PO|的最小值為點O到直線的距離………11分

           可得：

         則所求點坐標為………………………………13分

18．（1）證明：上

        ………………1分    ………2分

        ……………………4分

         是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.

   （2）解：由（1）可得，………………………………6分

        所以   ……………………8分

   （3）

           =………………10分

        

          當；…………………………11分

          當………………12分

          當用數(shù)學歸納法證明如下：

          當

          假設時成立

          即

          即

          當

                         

         

          綜上可知 

          …………………………14分

          綜上可知當；

          當

19．解：（1）由題意知

         則雙曲線方程為：…………………………3分

        （2）設，右準線，

設PQ方程為：

代入雙曲線方程可得：

由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以，

…………………………4分

……4分

由于

由可得：…………………………6分

……………………………………7分

此時

     （II）存在實數(shù)，滿足題設條件.

      的直線方程為：

      令得  即

        

即

又

把（3）（4）代入（2）得：……（5）………………（10分）

由（1）（5）得：……………（11分）

又

       

    令……………………13分

       故存在實數(shù)μ，滿足題設條件.

20．證明：（I）

………………………………1分

又

……………………………………2分

………………4分

（II）當時，時，

∴只須證明當時，………………………………5分

由②，知A>0，…………………………………………6分

為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為

又……9分

，有

為[0，2]上的增函數(shù).

時，有

即……………………………………………13分

 

 


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