題目列表(包括答案和解析)
已知遞增等差數(shù)列滿足:
,且
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
;
(2)若不等式對(duì)任意
恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)
的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為
,
由題意可知,即
,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問中,不等式等價(jià)于
,利用當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;而
,所以猜想,
的最小值為
然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為
,由題意可知
,即
,
解得或
(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;
而,所以猜想,
的最小值為
. …………8分
下證不等式對(duì)任意
恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),
,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式
成立,
當(dāng)時(shí),
,
…………10分
只要證 ,只要證
,
只要證 ,只要證
,
只要證 ,顯然成立.所以,對(duì)任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
, …………10分
, …………12分
所以對(duì),都有
,可知數(shù)列
為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以
恒成立,
故的最小值為
.
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點(diǎn)
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中,利用當(dāng)時(shí),
.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(
),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),
.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當(dāng)時(shí),
在
上恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
即
.
……10分
(2)當(dāng)時(shí),令
,對(duì)稱軸
,
則在
上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即
時(shí),
在
上恒成立,
所以在
單調(diào)遞增,
即
,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com