題目列表(包括答案和解析)
如圖,,
,…,
,…是曲線
上的點,
,
,…,
,…是
軸正半軸上的點,且
,
,…,
,…
均為斜邊在
軸上的等腰直角三角形(
為坐標(biāo)原點).
(1)寫出、
和
之間的等量關(guān)系,以及
、
和
之間的等量關(guān)系;
(2)求證:(
);
(3)設(shè),對所有
,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【解析】第一問利用有,
得到
第二問證明:①當(dāng)時,可求得
,命題成立;②假設(shè)當(dāng)
時,命題成立,即有
則當(dāng)
時,由歸納假設(shè)及
,
得
第三問
.………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,所以當(dāng)
時,
最大為
,即
解:(1)依題意,有,
,………………4分
(2)證明:①當(dāng)時,可求得
,命題成立;
……………2分
②假設(shè)當(dāng)時,命題成立,即有
,……………………1分
則當(dāng)時,由歸納假設(shè)及
,
得.
即
解得(
不合題意,舍去)
即當(dāng)時,命題成立. …………………………………………4分
綜上所述,對所有,
. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,所以當(dāng)
時,
最大為
,即
.……………2分
由題意,有.
所以,
一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區(qū)域供水.某日凌晨,已知蓄水池有水9千噸,水廠計劃在當(dāng)日每小時向蓄水池注入水2千噸,且每小時通過管道向所管轄區(qū)域供水
千噸.
(1)多少小時后,蓄水池存水量最少?
(2)當(dāng)蓄水池存水量少于3千噸時,供水就會出現(xiàn)緊張現(xiàn)象,那么當(dāng)日出現(xiàn)這種情況的時間有多長?
【解析】第一問中(1)設(shè)小時后,蓄水池有水
千噸.依題意,
當(dāng)
,即
(小時)時,蓄水池的水量最少,只有1千噸
第二問依題意, 解得:
解:(1)設(shè)小時后,蓄水池有水
千噸.………………………………………1分
依題意,…………………………………………4分
當(dāng),即
(小時)時,蓄水池的水量最少,只有1千噸. ………2分
(2)依題意, ………………………………………………3分
解得:. …………………………………………………………………3分
所以,當(dāng)天有8小時會出現(xiàn)供水緊張的情況
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設(shè)切點為(x0,x03-3x0),因為過點A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設(shè)切點為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線過點A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫出草圖知,當(dāng)-6<m<2時,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
如圖,已知點和單位圓上半部分上的動點B.
(1)若,求向量
;
(2)求的最大值.
【解析】對于這樣的向量的坐標(biāo)和模最值的求解,利用建立直角坐標(biāo)系的方法可知。
第一問中,依題意,,
,
因為,所以
,即
,
解得,所以
第二問中,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值。
(1)依題意,,
(不含1個或2個端點也對)
,
(寫出1個即可)
因為,所以
,即
,
解得,所以
.-
(2),
當(dāng)
時,
取得最大值,
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