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如圖：已知長方體的底面是邊長為的正方形，高，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：∥平面；
（3）求三棱錐的體積．

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一、選擇題（每小題5分，共50分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

A

D

C

D

B

C

A

二、填空題（每小題4分，共24分）

11   12  10    13 144    14      15

16  540

三、 解答題（共76分，以下各題文累積得分，其他解法請(qǐng)相應(yīng)給分）

17解：(I)由題意得，即，，……3分

       又，，……4分

       ……6分

      （II），

           于是

           又……8分

又……10分

……12分

18 解：(I) 最大編號(hào)分別為3，4，5，6。，……2分

    ……4分

  ，……6分 ……8分，即分布列為

3

4

5

6

 （II）的數(shù)字期望……10分

       的方差

……12分

19 解：(I)證明：連結(jié)是長方體，

        面

         又面，，又是正方形，

        面，即……3分

        又，……6分

（II）如圖，以為原點(diǎn)建系，由題意的

         ……6分

        于是

        ，設(shè)面

     不妨設(shè)由

     ……8分

     設(shè)面，不妨設(shè)

     ……9分

若與的夾角，則……11分

據(jù)分析二面角是銳角，二面角的余弦值是……12分

20 解：(I)由題意知故……1分

   又設(shè)橢圓中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，

 于是方程為……2分

由得線段的中點(diǎn)為（2，-1），從而的橫坐標(biāo)為4

故橢圓的方程為=1……4分

（II）由題意知直線存在斜率，設(shè)直線的方程為并整理得   ①……6分

由，得又不合題意

……8分

設(shè)點(diǎn)，則

由①知……9分

直線方程為……10分

令得，將代入

整理得 ，再將，代入計(jì)算得

直線 軸相交于頂點(diǎn)（1，0），……12分

21解：(I) ……2分

①     若,則當(dāng)或時(shí)時(shí)，

內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù) ，……4分

②     若

內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)……6分

（II）由題意知得……7分

恰有一根（含重根 ）

……8分

又

的值域?yàn)?sub>和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，

由題意的解得……12分

當(dāng)內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)

由題意得解得

綜上知實(shí)數(shù)的取值范圍為……14分

22 解（I）設(shè)公差為，由 得……1分

數(shù)列為3，5，7，9，7，5，3，……2分

（II）……3分

又=……4分

（III）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是①1，2，2²

       ②

       ③

       ④……9分

當(dāng)

       對(duì)于②當(dāng)

當(dāng)

對(duì)于③當(dāng)時(shí)，

當(dāng)

分

對(duì)于④當(dāng)時(shí)，

當(dāng)