題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問(wèn),第二問(wèn)中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以
.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí),
,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即
,
則當(dāng)時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí),命題成立.
綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
已知點(diǎn)為圓
上的動(dòng)點(diǎn),且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線(xiàn)段
中點(diǎn)
的軌跡為曲線(xiàn)
,過(guò)定點(diǎn)
任作一條與
軸不垂直的直線(xiàn)
,它與曲線(xiàn)
交于
、
兩點(diǎn)。
(I)求曲線(xiàn)的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn)
,使得
總能被
軸平分
【解析】第一問(wèn)中設(shè)為曲線(xiàn)
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線(xiàn)
的方程為
第二問(wèn)中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線(xiàn)
的方程為
, ………………3分
代入曲線(xiàn)的方程
,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線(xiàn)與曲線(xiàn)
總有兩個(gè)公共點(diǎn).
然后設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
得到。
(1)設(shè)為曲線(xiàn)
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線(xiàn)
的方程為
. ………………2分
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線(xiàn)
的方程為
, ………………3分
代入曲線(xiàn)的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直線(xiàn)與曲線(xiàn)
總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓
的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
當(dāng)時(shí),(*)對(duì)任意的s都成立,從而
總能被
軸平分.
所以在x軸上存在定點(diǎn),使得
總能被
軸平分
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