題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進(jìn)而得到范圍;第二問中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)
時(shí),
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點(diǎn)
,
,
當(dāng),即
時(shí),在(
,+∞)上有
,此時(shí)
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當(dāng),即
時(shí),同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時(shí)在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)若函數(shù)在區(qū)間
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)當(dāng)時(shí),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)求證:解:(1),其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">,則
令
,
則,
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
在(0,1)上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
即當(dāng)時(shí),函數(shù)
取得極大值. (3分)
函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值,
,解得
(4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,則
,
,即
在
上單調(diào)遞增, (7分)
,從而
,故
在
上單調(diào)遞增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),
恒成立,即
,
令,則
, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意的有
≤
成立,求實(shí)數(shù)
的最小值;
(Ⅲ)證明(
).
【解析】(1)解:
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
由,得
當(dāng)x變化時(shí),,
的變化情況如下表:
x |
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
極小值 |
|
因此,在
處取得最小值,故由題意
,所以
(2)解:當(dāng)時(shí),取
,有
,故
時(shí)不合題意.當(dāng)
時(shí),令
,即
令,得
①當(dāng)時(shí),
,
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的
,總有
,即
在
上恒成立,故
符合題意.
②當(dāng)時(shí),
,對(duì)于
,
,故
在
上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取
時(shí),
,即
不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當(dāng)時(shí),
在(2)中取,得
,
從而
所以有
綜上,,
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