題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進而得到范圍;第二問中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)
時,
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域為
.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點
,
,
當(dāng),即
時,在(
,+∞)上有
,此時
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當(dāng),即
時,同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時,函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
已知
(1)求函數(shù)在
上的最小值
(2)對一切的恒成立,求實數(shù)a的取值范圍
(3)證明對一切,都有
成立
【解析】第一問中利用
當(dāng)
時,
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增
,當(dāng)
,即
時,
,
第二問中,,則
設(shè)
,
則,
單調(diào)遞增,
,
,
單調(diào)遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
第三問中問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當(dāng)且僅當(dāng)x=
時取得
設(shè),
,則
,易得
。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
解:(1)當(dāng)
時,
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增
,當(dāng)
,即
時,
,
…………4分
(2),則
設(shè)
,
則,
單調(diào)遞增,
,
,
單調(diào)遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
…………9分
(3)問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當(dāng)且僅當(dāng)x=
時取得
設(shè),
,則
,易得
。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
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