題目列表(包括答案和解析)
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6 |
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3 |
(本題滿分18分,第(1)小題6分,第(2)小題6分,第(3)小題6分)
若數(shù)列滿足:
是常數(shù)),則稱數(shù)列
為二階線性遞推數(shù)列,且定義方程
為數(shù)列
的特征方程,方程的根稱為特征根; 數(shù)列
的通項公式
均可用特征根求得:
①若方程有兩相異實根
,則數(shù)列通項可以寫成
,(其中
是待定常數(shù));
②若方程有兩相同實根
,則數(shù)列通項可以寫成
,(其中
是待定常數(shù));
再利用可求得
,進而求得
.
根據(jù)上述結(jié)論求下列問題:
(1)當,
(
)時,求數(shù)列
的通項公式;
(2)當,
(
)時,求數(shù)列
的通項公式;
(3)當,
(
)時,記
,若
能被數(shù)
整除,求所有滿足條件的正整數(shù)
的取值集合.
已知數(shù)列的前
項和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設(shè) (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當時,由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對偶式)設(shè),
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因為
,所以
.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當時,
,命題成立;
②假設(shè)時,命題成立,即
,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
(1)用x、y、z表示甲勝的概率;
(2)若又規(guī)定當甲取紅、黃、白球而勝的得分分別為1,2,3分,否則得0分.求甲得分的期望的最大值及此時x、y、z的值.
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