題目列表(包括答案和解析)
在四棱錐中,
平面
,底面
為矩形,
.
(Ⅰ)當時,求證:
;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點
,使得
,求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時,底面ABCD為正方形,
又因為,
………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即
………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當時,底面ABCD為正方形,
又因為,
又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即
………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
在數(shù)學證明中,①假言推理、②三段論推理、③傳遞關(guān)系推理、④完全歸納推理,是經(jīng)常使用的四種演繹推理,下面推理過程使用到上述推理規(guī)則中的( )如(右圖)
因為lAB,所以
又因為AB//CD,所以
所以
A. ①②③ B.②③④
C. ②③ D.①②③④
已知,
,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值。
【解析】第一問中,因為,∴
∴或
又
∴
第二問中原式=
=進而得到結(jié)論。
(Ⅰ)解:∵∴
∴或
……………………………………3分
又∴
……………………………2分
(Ⅱ) 解:原式= ……………………2分
=…………2分
=
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