題目列表(包括答案和解析)
設(shè)點是拋物線
的焦點,
是拋物線
上的
個不同的點(
).
(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線
上的三個定點
、
、
的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時,若
,
求證:;
(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:
“若,則
.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為
,設(shè)
,
分別過作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線
的焦點為
,
設(shè),
分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
解:(1)拋物線的焦點為
,設(shè)
,
分別過作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
因為,所以
,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線
的焦點為
,
設(shè),
分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
,
則,
.
故,
,
,
是一個當(dāng)
時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過
作
拋物線的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,
由及拋物線的定義得
,即
.
因為上述表達式與點的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這
點都取在
軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以
.
(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組
個不同的點,均為反例.)
③ 補充條件1:“點的縱坐標(biāo)
(
)滿足
”,即:
“當(dāng)時,若
,且點
的縱坐標(biāo)
(
)滿足
,則
”.此命題為真.事實上,設(shè)
,
分別過作拋物線
準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,由
,
及拋物線的定義得,即
,則
,
又由,所以
,故命題為真.
補充條件2:“點與點
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對稱”,即:
“當(dāng)時,若
,且點
與點
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對稱,則
”.此命題為真.(證略)
已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實數(shù)x只有一個.
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=f(an),bn=
-1,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,證明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=
-1, ∴
=
=
=
,
∴{bn}為等比數(shù)列,q=.又∵a1=
,∴b1=
-1=
,
bn=b1qn-1=n-1=
n(n∈N*).……………………………9分
(3)證明:∵anbn=an=1-an=1-
=
,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=+
+…+
<
+
+…+
==1-
<1(n∈N*).
已知數(shù)列是首項為
的等比數(shù)列,且滿足
.
(1) 求常數(shù)的值和數(shù)列
的通項公式;
(2) 若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第
項、……,余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列
,試寫出數(shù)列
的通項公式;
(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前
項和為
.是否存在正整數(shù)
,使得
?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)
的值;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問中解:由得
,,
又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,
則即
,所以p=1
故數(shù)列為首項是2,公比為2的等比數(shù)列,即
.
此時也滿足,則所求常數(shù)
的值為1且
第二問中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
(i)當(dāng)時,
;
(ii) 當(dāng)時,
,
所以
第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則,
則(i)當(dāng)時,
,
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