已知數列是首項為的等比數列，且滿足.

（1）   求常數的值和數列的通項公式；

（2）   若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數列，試寫出數列的通項公式；

（3） 在（2）的條件下，設數列的前項和為.是否存在正整數，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因為存在常數p使得數列為等比數列，

則即，所以p=1

故數列為首項是2，公比為2的等比數列，即.

此時也滿足，則所求常數的值為1且

第二問中，解：由等比數列的性質得：

（i）當時，；

（ii） 當時，，

所以

第三問假設存在正整數n滿足條件，則，

則（i）當時，

，

 

已知m=（x-lnx-y，a），

n

=（

1

x

+lnx+15，1），其中a＞0，且a≠1，當時，y關于x的函數關系式記為y=f（x）；
（1）寫出函數f（x）的解析式，并討論f（x）的單調性；
（2）設函數g（x）=

(-2x3-3ax2-6ax-4a2+6a)   ex，x≤1 e•f(x)，x＞

1（e是自然數的底數）．是否存在正整數a，使g（x）在[-a，a]上為減函數？若存在，求出所有滿足條件的正整數a；若不存在，請說明理由．

已知平面向量=(,1)，=()，，，．  

（1）當時，求的取值范圍； 

（2）設，是否存在實數，使得有最大值2，若存在，求出所有滿足條件的值，若不存在，說明理由

 

（(本小題共13分)

若數列滿足，數列為數列，記=.

（Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數列；

（Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2011；

（Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A₅）

（Ⅱ）必要性：因為E數列A₅是遞增數列，所以.所以A₅是首項為12，公差為1的等差數列.所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1，a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1……a₂—a₁1所以a₂₀₀₀—a19999，即a₂₀₀₀a₁+1999.又因為a₁=12，a₂₀₀₀=2011,所以a₂₀₀₀=a₁+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。

 

 

（本小題滿分14分）

已知平面向量=(,1)，=()，，，.（1）當時，求的取值范圍；

（2）設，是否存在實數，使得有最大值，若存在，求出所有滿足條件的值，若不存在，說明理由.