如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為4（

2

+1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

如圖，已知直線l：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點F，拋物線：x2=4

3

y的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，當m變化時，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試證明當m變化時，直線AE與BD相交于定點N(

5

2

，0)．

如圖，過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于點P，
點A和點B分別為橢圓的右頂點和上頂點，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過右焦點F₂作一條弦QR，使QR⊥AB．若△F₁QR的面積為20

3

，求橢圓的方程．