精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
若A1，A2，…，Am為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且滿足兩個條件：
①A1∪A2∪…∪Am=A；
②對任意的{x，y}A，至少存在一個i∈{1，2，3，…，m}，使Ai∩{x，y}={x}或{y}；
則稱集合組A1，A2，…，Am具有性質P。
如圖，作n行m列數表，定義數表中的第k行第l列的數為，

（Ⅰ）當n=4時，判斷下列兩個集合組是否具有性質P，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；
集合組1：A1={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；
集合組2：A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}；
（Ⅱ）當n=7時，若集合組A1，A2，A3具有性質P，請先畫出所對應的7行3列的一個數表，再依此表格分別寫出集合A1，A2，A3；
（Ⅲ）當n=100時，集合組A1，A2，…，At是具有性質P且所含集合個數最小的集合組，求t的值及|A1|+|A2|+…+|At|的最小值。（其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個數）
解：（Ⅰ）集合組1具有性質P，
所對應的數表為：

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

集合組2不具有性質P，因為存在，
有，
與對任意的，都至少存在一個i∈{1，2，3}，有或{y}矛盾，
所以集合組不具有性質P。
（Ⅱ）

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

；
（注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同）
（Ⅲ）設所對應的數表為數表M，
因為集合組為具有性質P的集合組，所以集合組滿足條件①和②，
由條件①：，
可得對任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有，
所以，即第x行不全為0，
所以由條件①可知數表M中任意一行不全為0；
由條件②知，對任意的，都至少存在一個i∈{1，2，3，…，t}，
使或{y}，
所以一定是一個1一個0，即第x行與第y行的第i列的兩個數一定不同；
所以由條件②可得數表M中任意兩行不完全相同；
因為由0，1所構成的t元有序數組共有2t個，去掉全是0的t元有序數組，共有個，
又因數表M中任意兩行都不完全相同，所以，所以t≥7，
又t=7時，由0，1所構成的7元有序數組共有128個，去掉全是0的數組，共127個，
選擇其中的100個數組構造100行7列數表，則數表對應的集合組滿足條件①②，即具有性質P，所以t=7；
因為等于表格中數字1的個數，
所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數盡可能少，
而t=7時，在數表M中，
1的個數為1的行最多7行；
1的個數為2的行最多行；
1的個數為3的行最多行；
1的個數為4的行最多行；
因為上述共有98行，所以還有2行各有5個1，
所以此時表格中最少有個1，
所以的最小值為304。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

9、若集合A1、A2滿足A1∪A2=A，則稱（A1，A2）為集合A的一個分拆，并規(guī)定：當且僅當A1=A2時，（A1，A2）與（A2，A1）為集合A的同一種分拆，則集合A={a1，a2，a3}?的不同分拆種數是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

等差數列{an}的公差為2，若a1，a2，a4成等比數列，則a2=（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

若集合A1，A2滿足A1∪A2=A，則稱（A1，A2）為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當且僅當A1=A2時，（A1，A2）與（A2，A1）為集合A的同一種分拆，則集合A={1，2，3}的不同分拆種數是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

若A1，A2，…，Am為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且滿足兩個條件：
①A1∪A2∪…∪Am=A；
②對任意的{x，y}⊆A，至少存在一個i∈{1，2，3，…，m}，使Ai∩{x，y}={x}或{y}．則稱集合組A1，A2，…，Am具有性質P．
如圖，作n行m列數表，定義數表中的第k行第l列的數為akl=
1(k∈Al)
0(k∉Al)
．
a11 a12 … a1m
a21 a22 … a2m
… … … …
an1 an2 … anm
（Ⅰ）當n=4時，判斷下列兩個集合組是否具有性質P，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；
集合組1：A1={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；
集合組2：A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}．
（Ⅱ）當n=7時，若集合組A1，A2，A3具有性質P，請先畫出所對應的7行3列的一個數表，再依此表格分別寫出集合A1，A2，A3；
（Ⅲ）當n=100時，集合組A1，A2，…，At是具有性質P且所含集合個數最小的集合組，求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值．（其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個數）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，a1=a，且an+1+2an=2n+1
（1）若a1，a2，a3成等差數列，則{an}是否成等差數列？并說明理由；
（2）若a1，a2，a3成等比數列，則{an}是否成等比數列？并說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案