題目列表(包括答案和解析)
(08年黃岡中學一模理) (本小題滿分12分)一個袋子中裝有m個紅球和n個白球(m>n≥4),它們除顏色不同外,其余都相同,現(xiàn)從中任取兩個球.
(1)若取出兩個紅球的概率等于取出一紅一白兩個球的概率的整數(shù)倍,求證:m必為奇數(shù);
(2)若取出兩個球顏色相同的概率等于取出兩個顏色不同的概率,求滿足m+n≤20的所有數(shù)組(m, n)
1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A
11.31003 12.60 13. 14.
15.①②⑤
16.解:(1)設“取出兩個紅球”為事件A,“取出一紅一白兩個球”為事件B,則
……2分
由題意得
則有,可得
……4分
∵,∴m為奇數(shù)……6分
(2)設“取出兩個白球”為事件C,則……7分
由題意知,即有
可得到,從而m+n為完全平方數(shù)……9分
又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20
得到方程組:;
解得:,(不合題意舍去)
……11分
故滿足條件的數(shù)組(m, n)只有一組(10,6)……12分
17.解:(1)∵,……2分
即
即……4分
由于,故
……6分
(2)由……8分
……10分
當且僅當tanA=tanB,即A=B時,tanC取得最大值.
所以C的最大值為,此時
為等腰三角形. ……12分
18.解:設裁員x人,可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元,
則……4分
依題意
又140<2a<420, 70<a<210. ……6分
(1)當時,x=a-70, y取到最大值;……8分
(2)當時,
, y取到最大值;……10分
答:當時,裁員a-70人;當
時,裁員
人……12分
19.解法一:(1)作,垂足為O,連結AO,由側面
底面ABCD,得
底面
ABCD. 因為SA=SB,所以AO=BO. 又
,故
為等腰直角三角形,
由三垂線定理,得
(2)由(1)知,依題設
,故
,由
,得
所以
的面積
連結DB,得
的面積
設D到平面SAB的距離為h,由
,
得,解得
設SD與平面SAB所成角為
,則
所以直線SD與平面SAB所成的角為
解法二:(1)作,垂足為O,連結AO,由側面
底面ABCD,得
平面ABCD. 因為SA=SB,所以AO=BO. 又
,
為等腰直角三角形,
如圖,以O為坐標原點,OA為x軸正向,建立直角坐標系O―xyz,
,所以
(2)取AB中點E,. 連結SE,取SE中點G,連結OG,
,OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE、AB垂直,所以
平面SAB.
的夾角記為
,SD與平面SAB所成的角記為
,則
與
互余.
所以直線SD與平面SAB所成的角為
20.解:(1)∵焦點F為(1,0),過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設為,代入拋物線
得:
,則有
……2分
進而……4分
又,
得為鈍角,故
不是直角三角形.……6分
(2)由題意得AB的方程為,
代入拋物線,求得
……8分
假設拋物線上存在點,使
為直角三角形且C為直角,此時,以AC為直徑的圓的方程為
,將A、B、C三點的坐標代入得:
整理得:……10分
解得對應點B,
對應點C……12分
則存在使
為直角三角形.
故滿足條件的點C有一個:……13分
∴
令
由
∴當時,h(t)單調(diào)遞增,∴h(t)>h(1)=0
于是……②
由①、②可知……10分
所以,,即
……11分
(3)由(2)可知
在中令n=1, 2, 3, …, 2007,并將各式相加得
即……14分
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