16． 已知為銳角.且. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

 

 

(1) 求證：HG∥平面ABC；

(2) 請在面ABD內(nèi)過點E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

 

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(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

(1) 求證：HG∥平面ABC；
(2) 請在面ABD內(nèi)過點E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

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（本小題滿分14分）

已知為銳角的三個內(nèi)角，向量，，且⊥．（Ⅰ）求的大�。唬á颍┣笙铝泻瘮�(shù)：的值域．

 

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（本小題滿分14分）已知向量

設(shè)函數(shù)

 （1）求函數(shù)的最大值；

 （2）在A為銳角的三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且的面積為3，求a的值。

 

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（本小題滿分14分）

如圖，直線和相交于點且，點.以為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點的距離相等.若為銳角三角形，，，且.

（1）曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分？并建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担笄�段C所在的圓錐曲線的標準方程；

（2）在（1）所建的坐標系下，已知點在曲線段C上，直線，求直線被圓截得的弦長的取值范圍.

 

 

 

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（二十三）

【解題思路】：設(shè)f（x）的二次項系數(shù)為m，其圖象上兩點為（1-x，）、B（1＋x，）因為，，所以，由x的任意性得f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱， ………………………………………………………………(2分)

∵　，，，

，，，………………………………(4分)

∴　當(dāng)時，∵f（x）在x≥1內(nèi)是增函數(shù)，

，．

　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)

當(dāng)時，∵f（x）在x≥1內(nèi)是減函數(shù)．

同理可得或，．………………………………………(11分)

　　綜上：的解集是當(dāng)時，為

當(dāng)時，為，或．…………………………(12分)

【試題評析】：本小題主要考查最簡單三角不等式的解法等基本知識，涉及到分類討論、二次函數(shù)的對稱性、向量的數(shù)量積、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識和方法的綜合運用，考查運算能力及邏輯思維能力。

 

18．（理）【解題思路】：（1）設(shè)甲隊在第五場比賽后獲得冠軍為事件M，則第五場比賽甲隊獲勝，前四場比賽甲隊獲勝三場,

　　依題意得．……………………………(6分)

　　（2）設(shè)甲隊獲得冠軍為事件E，則E包含第四、第五、第六、第七場獲得冠軍四種情況，且它們彼此互斥．

∴　．

………………………………………………………………(12分)

【試題評析】：考查互斥事件有一個發(fā)生的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，n次獨立重復(fù)實驗恰好k次發(fā)生的概率�？疾檫壿嬎季S能力，要求考生具有較強的辨別雷同信息的能力。

19．【解題思路】：解法一：（1）取PC中點M，連結(jié)ME、MF，則MF∥CD，MF=CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四邊形AFME是平行四邊形，∴AF∥EM，∵AF平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)

         (2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，   ………………………………………………………………(6分)

∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD內(nèi)過F作FH⊥PC于H，則FH就是點F到平面PCE的距離. …………………………………(10分)

由已知，PD=，PF=，PC=，△PFH∽△PCD，∴，

∴FH=.           ………………………………………………………………(12分)

       解法二：（1）取PC中點M，連結(jié)EM，

=+=，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………………(4分)

       （2）以Ａ為坐標原點，分別以所在直線為x、y、z

軸建立坐標系.　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)

 ∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E, C(3, 2, 0)，設(shè)平面PCE的法向量為=(x, y, z)，則⊥，⊥，而=（-，0，2），

=（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-x，z=x. 取x=4

得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)

 

又=（0，1，-1），

故點F到平面PCE的距離為d=.…………(12分)

【試題評析】：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識，是否利用空間向量供考生選擇�？疾榭臻g想象能力、邏輯推理能力和運算能力   

（二十四）

17. 解：（1）   設(shè)，則 …………………1分

…………………2分

又是奇函數(shù)，所以…………………3分

=……4分

 

 

                                     ………………5分

是[-1，1]上增函數(shù)………………6分

（2）是[-1，1]上增函數(shù)，由已知得: …………7分

等價于     …………10分

解得：，所以…………12分

 

*二次函數(shù)在上遞減………………………12分

故時，

……………………13分

，…………………………14分

（二十五）

16．解： 由題意，得為銳角，，               3分

    ，                 6分

由正弦定理得 ，                                       9分

．                             12分

 

17．（本題滿分12分）

有紅藍兩粒質(zhì)地均勻的正方體形狀骰子，紅色骰子有兩個面是8，四個面是2，藍色骰子有三個面是7，三個面是1，兩人各取一只骰子分別隨機擲一次，所得點數(shù)較大者獲勝.

（1）分別求出兩只骰子投擲所得點數(shù)的分布列及期望；

（2）求投擲藍色骰子者獲勝的概率是多少？

17．解：（1）設(shè)紅色骰子投擲所得點數(shù)為，其分布如下：

 

 

8

2

P

………………2分

       ；………………………………………………4分

       設(shè)藍色骰子投擲所得點數(shù)，其分布如下；

7

1

P


   

    
    
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    ………………6分
           ………………………………8分
    （2）∵投擲骰子點數(shù)較大者獲勝，∴投擲藍色骰子者若獲勝，則投擲后藍色骰子點數(shù)為7，
    紅色骰子點數(shù)為2.∴投擲藍色骰子者獲勝概率是…………12分
     
    18．（本題滿分14分）
    如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
    (Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；
    (Ⅱ)當(dāng)k＝時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
    (Ⅲ) 當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？
    解：解法一
    (Ⅰ)∵O、D分別為AC、PC的中點：∴OD∥PA,又PA平面PAB,
    ∴OD∥平面PAB.                                                        
3分
    (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
    取BC中點E,連結(jié)PE,則BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,連結(jié)DF,則OF⊥平面PBC
    ∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.
    又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
    在Rt△ODF中,sin∠ODF=,
    ∴PA與平面PBC所成角為arcsin                                    
4分
    (Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影.
    ∵D是PC的中點,若F是△PBC的重心,則B、F、D三點共線,直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,當(dāng)k=1時,三棱錐O-PBC為正三棱錐,∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.                              5分
    解法二：
    ∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
    以O(shè)為原點,射線OP為非負x軸,建立空間坐標系O-xyz如圖),設(shè)AB=a,則A(a,0,0).
    B(0, a,0),C(-a,0,0).設(shè)OP=h,則P(0,0,h). 
    (Ⅰ)∵D為PC的中點,∴又∥,
    ∴OD∥平面PAB.
    (Ⅱ)∵k=則PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量
    ∴cos.
    設(shè)PA與平面PBC所成角為θ,剛sinθ=|cos()|=.
    ∴PA與平面PBC所成的角為arcsin.
    (Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().
    ∵OG⊥平面PBC,∴又∴,
    ∴h=,∴PA=,即k=1,反之,當(dāng)k=1時,三棱錐O-PBC為正三棱錐.
    ∴O為平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.
     
    （二十六）
    16、解：（1）設(shè)甲命中目標為事件A，乙命中目標為事件B，丙命中目標為事件C 
    三人同時對同一目標射擊，目標被擊中為事件D         
…… 2分
    可知，三人同時對同一目標射擊，目標不被擊中為事件  
    有                                  

    又由已知       …… 6分
    ∴                                 

    答：三人同時對同一目標進行射擊，目標被擊中的概率為  …… 8分
    （2）甲、乙、丙由先而后進行射擊時最省子彈。   …… 10分
    甲、乙、丙由先而后進行射擊時所用子彈的分布列為
    ξ
    1
    2
    3
    P
    …… 11分 
    由此可求出此時所耗子彈數(shù)量的期望為：   …… 13分
    按其它順序編排進行射擊時，得出所耗子彈數(shù)量的期望值均高過此時，
    因此甲、乙、丙由先而后進行射擊時最省子彈。        ……  14分
     
    17、 （可用常規(guī)方法，亦可建立坐標系用向量解決，方法多樣，答案過程略）
    （1）、證明略 （4分）
            （2）、（4分）
            （3）、異面直線A’C與BC’所成的角為60°（4分）
     
    18、解：（1）由已知，   …… 2分
                     
             …… 4分
              
由，得
              
∴p＝       ∴                …… 6分
    （2）由（1）得，        
…… 7分
                 
2    … ①
                
 …② ……10分
                
②-①得，
                            
＝＝       ……14分
     
    （二十七）
    17、（本小題滿分12分）
    解：（Ⅰ）在△ABC中，
    ………………………………  6分
    （Ⅱ）由正弦定理,又,故
    即:  故△ABC是以角C為直角的直角三角形              
    又………………………………………………12分
    18．（本小題滿分14分）
    (Ⅰ)證明:,
    .……2分
    又,……4分
    ∴  PD⊥面ABCD………6分
    (Ⅱ)解:連結(jié)BD,設(shè)BD交AC于點O, 
    過O作OE⊥PB于點E,連結(jié)AE,
    ∵PD⊥面ABCD, ∴,
    又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.
    ∴AO⊥PB,
    ∵,
    ∴,從而,
    故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分
    ∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,
    ∴在Rt△PDB中, ,
    又∵,    ∴,………………12分
      ∴  . 
    故二面角A－PB－D的大小為60°. …………………14分
    （也可用向量解）
    19、（本小題滿分1４分）
    （Ⅰ）由題設(shè)得，對兩邊平方得
     
    展開整理易得 ------------------------6分
      （Ⅱ），當(dāng)且僅當(dāng)＝1時取得等號. 
    欲使對任意的恒成立，等價于 
    即在上恒成立，而在上為單調(diào)函數(shù)或常函數(shù)，
    所以
		
    

    

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