因為是的垂直平分線.所以直線的方程為.即. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

在棱長為的正方體中,是線段的中點,.

(1) 求證:^;

(2) 求證://平面

(3) 求三棱錐的表面積.

【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中,利用,得到結(jié)論,第二問中,先判定為平行四邊形,然后,可知結(jié)論成立。

第三問中,是邊長為的正三角形,其面積為,

因為平面,所以,

所以是直角三角形,其面積為,

同理的面積為, 面積為.  所以三棱錐的表面積為.

解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì),

因為,

所以,又,所以,,

所以^.               ………………4分

(2)證明:連接,因為

所以為平行四邊形,因此,

由于是線段的中點,所以,      …………6分

因為平面,所以∥平面.   ……………8分

(3)是邊長為的正三角形,其面積為,

因為平面,所以,

所以是直角三角形,其面積為,

同理的面積為,              ……………………10分

面積為.          所以三棱錐的表面積為

 

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如圖所示的長方體中,底面是邊長為的正方形,的交點,是線段的中點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求證:平面;

(Ⅲ)求二面角的大小.

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運用。中利用,又平面,平面,∴平面,又,∴平面. 可得證明

(3)因為∴為面的法向量.∵,,

為平面的法向量.∴利用法向量的夾角公式,

的夾角為,即二面角的大小為

方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.連接,則點、

,又點,,∴

,且不共線,∴

平面,平面,∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵

,,即,

,∴平面.   ………8分

(Ⅲ)∵,,∴平面

為面的法向量.∵,,

為平面的法向量.∴

的夾角為,即二面角的大小為

 

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA底面ABCD,AC=,PA=2,E是PC上的一點,PE=2EC。

(I)     證明PC平面BED;

(II)   設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小

【解析】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用。

從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度,并加以證明和求解。

解法一:因為底面ABCD為菱形,所以BDAC,又

【點評】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時練習(xí)的試題和相似,底面也是特殊的菱形,一個側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是點E的位置的選擇是一般的三等分點,這樣的解決對于學(xué)生來說就是比較有點難度的,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好。

 

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如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.

(1)   求證:A1C⊥平面BCDE;

(2)   若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大。

(3)   線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由

【解析】(1)∵DE∥BC∴又∵

(2)如圖,以C為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

設(shè)平面的法向量為,則,又,,所以,令,則,所以,

設(shè)CM與平面所成角為。因為,

所以

所以CM與平面所成角為。

 

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一、選擇題

1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

6.A 提示:設(shè),則表示點與點(0,0)連線的斜率.當(dāng)該直線kx-y=0與圓相切時,取得最大值與最小值.圓心(2,0),由=1,解得,∴的最大值為.11.(文) B 

11.(文) A       提示:拋物線的焦點為F(1,0),作PA垂直于準(zhǔn)線x=-1,則

|PA|=|PF|,當(dāng)A、P、Q在同一條直線上時,

|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|=|AQ|,

此時,點P到Q點距離與拋物線焦點距離之和取得最小值,

P點的縱坐標(biāo)為-1,有1=4x,x=,此時P點坐標(biāo)為(,-1),故選A。

11.(理) B提示:設(shè)

。

12.A    提示:如右圖所示,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線以F2為頂點,F1為焦點,可得其準(zhǔn)線的方

程為x=3c, 根據(jù)拋物線的定義可得|PF1|=|PR|=3c-x0,又由點P為雙曲線上的點,根據(jù)雙曲線的第二定義可得=e, 即得|PF2|=ex0-a, 由已知a|PF2|+c|PF1|=8a2,可得-a2+3c2=8a2,即e2=3,由e>1可得e=, 故應(yīng)選A.

二、填空題:13-16文    3   35

 

 

 

 

 

 

九、實戰(zhàn)演習(xí)

一  選擇題

1.與圓相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有 (   )

A.2條          B.3條         C.4條        D.6條

1.C提示: 在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類:①直線過原點時,有兩條與已知圓相切;②直線不過原點時,設(shè)其方程為,也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同,故選C.

2.在中,三內(nèi)角所對的邊是成等差數(shù)列,那么直線與直線的位置關(guān)系是  (        )

A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

2.B提示:成等差數(shù)列,

,

,故兩直線重合。選B。

3.已知函數(shù),集合,集合,則集合的面積是      

A.             B.            C.            D.

3.D提示: 集合即為:,集合即為: ,其面積等于半圓面積。

4.(文)已知直線m:交x軸于M,E是直線m上的點,N(1,0),又P在線段EN的垂直平分線上,且,則動點P的軌跡是(  )

A.圓   B.橢圓   C.雙曲線    D.拋物線

4.(文)D.

4.(理)已知P在雙曲線上變動,O是坐標(biāo)原點,F(xiàn)是雙曲線的右焦點,則的重心G的軌跡方程是(  )

A.    B.

C.     D.

4.(理)C.提示:雙曲線焦點坐標(biāo)是F(6,0).設(shè)雙曲線上任一點P(x0,y0), 的重心G(x,y),則由重心公式,

,解得,代入,得為所求.

5.已知是三角形的一個內(nèi)角,且,則方程表示(  。

A.焦點在軸上的橢圓     B.焦點在軸上的橢圓

C.焦點在軸上的雙曲線    D.焦點在軸上的雙曲線

5.B提示:由,又是三角形的一個內(nèi)角,故

再由

結(jié)合解得

。

故方程表示焦點在軸上的橢圓。選B。

或者結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線直接斷定。

6.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點,它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線                         (    )

A.有且僅有一條     B.有且僅有兩條      C.有無窮多條      D.不存在

6.B提示:該拋物線的通徑長為4,而這樣的弦AB的長為,故這樣的直線有且僅有兩條。選B。

或者(1)當(dāng)該直線的斜率不存在時,它們的橫坐標(biāo)之和等于2;

(2)當(dāng)該直線的斜率存在時,設(shè)該直線方程為,代入拋物線方程得

,由。故這樣的直線有且僅有兩條。

7.一個橢圓中心在原點,焦點軸上,(2,)是橢圓上一點,且成等差數(shù)列,則橢圓方程為            (  。

A.     B.    C.     D.

7.A提示:設(shè)橢圓方程為,由成等差數(shù)列知,從而,故橢圓方程為,將P點的坐標(biāo)代入得,故所求的橢圓方程為。選A。

8.以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形形狀為(  )

A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等邊三角形

8. B.提示:由兩點間距離公式,得,故選B.

9. 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點,則k的取值范圍是(。

A.,   B.,     C.   D.,

9.D提示:特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程

若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點,則應(yīng)滿足

。選D。

10. (文)設(shè)離心率為e的雙曲線的右焦點為F,直線過點F且斜率為K,則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是( 。

A.      B. 

C.      D.

10. (理)已知兩個點M(-5,0)和N(5,0),若直線上存在點P,使|PM|-|PN|=6,則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①。其中屬于“B型直線”的是(      )

A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

10. (文)C  提示:由已知設(shè)漸近線的斜率為于是

,即故選C;

10. (理)B 提示:理解為以M、N為焦點的雙曲線,則c=5, 又|PM|-|PN|=6,則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線的右支,所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點,又漸近線為:,逐一分析,只有①②與雙曲線右支有交點,故選B;

11.已知雙曲線的左、右焦點分別為,點P在雙曲線上,且,則此雙曲線的離心率的最大值為   (   )

A、      B、     C、     D、2

11.B提示:,由    又

故選B項。

12.若AB過橢圓 + =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點, 則△F1AB面積的最大值為(    ) 

A. 6   B.12   C.24   D.48

12.B提示:設(shè)AB的方程為,代入橢圓方程得。選B。

二  填空題

13.橢圓M:=1 (a>b>0) 的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓M上任一點,且 的最大值的取值范圍是[2c2,3c2],其中. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是         

13.

14. 1.1998年12月19日,太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司(美國)發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓,近地點為m km,遠(yuǎn)地點為  n km,地球的半徑為R km,則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于         

           

14. 2提示:  c=m+R, +c=n+R,

c=,b=2=2.

15. 已知與曲線C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點,O為原點,|OA|=a,|OB|=b,a>2,b>2,線段AB中點的軌跡方程是                               。

15. 提示:滿足(a-2)(b-2)=2。設(shè)AB的中點坐標(biāo)為(x,y), 則a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

    16.以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中

①設(shè)A、B為兩個定點,k為非零常數(shù),,則動點P的軌跡為雙曲線;

②過定圓C上一定點A作該圓的動弦AB,O為坐標(biāo)原點,若則動點的軌跡為橢圓;③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;

④雙曲線有相同的焦點.

其中真命題的序號為                 (寫出所有真命題的序號)

16. ③、④

三  解答題(74分)

17. (本小題滿分12分)已知,直線和圓

(1)求直線斜率的取值范圍;

(2)直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧?為什么?

解析:(1)直線的方程可化為,直線的斜率,因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

所以,斜率的取值范圍是

(2)不能.由(1)知的方程為,其中

的圓心為,半徑.圓心到直線的距離

,得,即.從而,若與圓相交,則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于.所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段。

18. (本小題滿分12分)已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點,O為坐標(biāo)原點,點P)在橢圓上,線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點,對于△ABC,求的值

18.解:(1)由題意知:

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.        

(2)∵點C在橢圓上,A、B是橢圓的兩個焦點,

∴AC+BC=2a=,AB=2c=2 .   

在△ABC中,由正弦定理,  ,

.       

19.(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是(為大于0的常數(shù)).

 (1)求橢圓的方程;

 (2)設(shè)是橢圓上一點,且過點

同步練習(xí)冊答案