(2)對于橢圓C上任意一點(diǎn)M .試證:總存在角(∈R)使等式:＝cos+sin成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點(diǎn)P（x0，y0）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0）．
（1）試用x0，y0，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如圖），求證：xE•xF是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運(yùn)算（加、減、乘、除），其結(jié)果是否是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明．

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圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點(diǎn)P（x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0）．
（1）試用x，y，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為（如圖），求證：xE•xF是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運(yùn)算（加、減、乘、除），其結(jié)果是否是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明．

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圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點(diǎn)P（x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0）．
（1）試用x，y，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為（如圖），求證：xE•xF是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運(yùn)算（加、減、乘、除），其結(jié)果是否是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明．

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設(shè)F1、F2分別為橢圓C：數(shù)學(xué)公式的左、右兩個焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，數(shù)學(xué)公式）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知圓心在原點(diǎn)的圓具有性質(zhì)：若M、N是圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．試對橢圓數(shù)學(xué)公式寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

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設(shè)F1、F2分別為橢圓C：的左、右兩個焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知圓心在原點(diǎn)的圓具有性質(zhì)：若M、N是圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．試對橢圓寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

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一、選擇題

 1-6  C  A  B  B   B   D    7-12   B  C  B  B  B  C

二、填空 

 13．  4     14．      15． 2    16．

三、解答題

17．（1）解：由

       有    ……6分

由，  ……8分

由余弦定理

      當(dāng)……12分

∴PB∥平面EFG. ………………………………3分

   （2）解：取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)GM、AM、EM，則GM//BD，

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      所成的角.………………4分
           在Rt△MAE中， ，
           同理，…………………………5分
      又GM=，
      ∴在△MGE中，
      ………………6分
      故異面直線EG與BD所成的角為arccos，………………………………7分
         （3）假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題設(shè)條件，
      


      
 
      
  
  
      
   
      
    
    
      
    
      ∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
      ∴AD⊥AB，AD⊥PA.
      又AB∩PA=A,
      ∴AD⊥平面PAB.
……………………………………8分
      又∵E，F(xiàn)分別是PA，PD中點(diǎn)，
      ∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.
      又EF面EFQ，
      ∴面EFQ⊥面PAB. …………………………………9分
      過A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，
      ∴AT就是點(diǎn)A到平面EFQ的距離. ……………………………………………10分
      設(shè)，
          在， …………………………11分
          解得
          故存在點(diǎn)Q，當(dāng)CQ=時，點(diǎn)A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 12分
      解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，
      則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
      


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         （1）證明：
           …………………………1分
          設(shè)，
          即，
          
           ……………2分
          ，
          ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 3分
         （2）解：∵,…………………………………………4分
          ，……………………… 6分
       
      20．（本小題滿分12分）
      解：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，
                                            …………2分
      又，
                                 …………3分
      是正項(xiàng)等比數(shù)列，
       
      ，                                               …………4分
      公比，                                                                                    …………5分
      數(shù)列                                  …………6分
         （2）解法一：，
      由                        …………8分
      ，
      當(dāng)，                                      …………10分
      又
      故存在正整數(shù)M，使得對一切M的最小值為2…………12分
         （2）解法二：，
      令，         …………8分
      由，
      函數(shù)…………10分
      對于
      故存在正整數(shù)M，使得對一切恒成立，M的最小值為2…………12
      21．解：  1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?sub>，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：     
①                    
………2分
      易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），
      據(jù)題意有AB所在的直線方程為：   ②                    
………3分
      由①，②有：        
③
      設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由③及韋達(dá)定理有：
       
      所以，即為所求。                                   
………5分
      2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：
      ，所以
      。                                  
………7分
      又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。          
④
      由③有：。所以
         ⑤
      又A?B在橢圓上，故有               
⑥
      將⑤，⑥代入④可得：。                               
………11分
      對于橢圓上的每一個點(diǎn)，總存在一對實(shí)數(shù)，使等式成立，而
      在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。
      也就是：對于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。                                                
………12分
       
      22.  …1分
      在上無極值點(diǎn)      ……………………………2分
      當(dāng)時，令,隨x的變化情況如下表：
      x
      ＋
      0
      －
      遞增
      極大值
      遞減
      從上表可以看出，當(dāng)時，有唯一的極大值點(diǎn)
      （2）解：當(dāng)時，在處取得極大值
      此極大值也是最大值。
      要使恒成立，只需
      的取值范圍是     …………………………………………………8分
      （3）證明：令p=1，由（2）知:
              …………………………………………………………10分
               ……………………………………………14分
      		
      
	
	
      
		
      


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