題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,
于是
,所以
(2) ,
設(shè)平面PCD的法向量
,
則,即
.不防設(shè)
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)證明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由
,
,可得
.
因此,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值為
.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
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