給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₀，都有函數(shù)值f（x₀）∈D，稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷函數(shù)g（x）=2x-1是否在D₁上封閉，并說明理由；
（2）若定義域D₂=（1，5]，是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）利用（2）中函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{x_n}，方法如下：對(duì)于給定的定義域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構(gòu)造數(shù)列的過程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程將繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．
①如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無窮常數(shù)列{x_n}，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無窮數(shù)列{x_n}，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（2012•順義區(qū)一模）對(duì)于定義域?yàn)锳的函數(shù)f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）＜f（x₂），則稱函數(shù)f（x）是A上的嚴(yán)格增函數(shù)；函數(shù)f（k）是定義在N*上，函數(shù)值也在N*中的嚴(yán)格增函數(shù)，并且滿足條件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）證明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）求f（3^k-1）（k∈N^*）的值；
（Ⅲ）是否存在p個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使得它們的函數(shù)值依次也是連續(xù)的自然數(shù)；若存在，找出所有的p值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₀，都有函數(shù)值f（x₀）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷下列函數(shù)中哪些在D₁上封閉（寫出推理過程）：f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1，f₃（x）=2^x-1；
（2）若定義域D₂=（1，2），是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的值，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2012•順義區(qū)二模）對(duì)于定義域?yàn)锳的函數(shù)f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）＜f（x₂），則稱函數(shù)f（x）是A上的嚴(yán)格增函數(shù)；函數(shù)f（k）是定義在N^*上，函數(shù)值也在N^*中的嚴(yán)格增函數(shù)，并且滿足條件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（3^x）=2×3^x（x∈N）是否是N上的嚴(yán)格增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)k，使得f（k）=2012，若存在求出k值；若不存在請(qǐng)說明理由．