在函數(shù)y=lgx（x＞1）的圖象有A、B、C三點，橫坐標分別為：m，m+2，m+4，
（1）若△ABC的面積為S，求S=f（m）的解析式；
（2）求S=f（m）的最大值；
（3）若a、b、c和lga、lgb、lgc分別是兩個三角形的三條邊，且a、b、c互不相等，那么這兩個三角形能否相似？說明理由．

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當(dāng)時，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時，，令得

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

又，，。∴在上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0；

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上