題目列表(包括答案和解析)
若下列方程:,
,
,至少有一個方程有實根,試求實數(shù)
的取值范圍.
解:設三個方程均無實根,則有
解得,即
.
所以當或
時,三個方程至少有一個方程有實根.
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意
恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中,利用當時,
.
因為切點為(
),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當時,
.
,
因為切點為(),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以
恒成立,
故在
上單調遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當時,
在
上恒成立,
故在
上單調遞增,
即
.
……10分
(2)當時,令
,對稱軸
,
則在
上單調遞增,又
① 當,即
時,
在
上恒成立,
所以在
單調遞增,
即
,不合題意,舍去
②當時,
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知正三角形ABC的頂點A(1,1),B(1,3),頂點C在第一象限,若點(x,y)在△ABC內部,則z=-x+y的取值范圍是
(A)(1-,2) (B)(0,2)
(C)(
-1,2) (D)(0,1+
)
【解析】 做出三角形的區(qū)域如圖,由圖象可知當直線
經(jīng)過點B時,截距最大,此時
,當直線經(jīng)過點C時,直線截距最小.因為
軸,所以
,三角形的邊長為2,設
,則
,解得
,
,因為頂點C在第一象限,所以
,即
代入直線
得
,所以
的取值范圍是
,選A.
設點是拋物線
的焦點,
是拋物線
上的
個不同的點(
).
(1) 當時,試寫出拋物線
上的三個定點
、
、
的坐標,從而使得
;
(2)當時,若
,
求證:;
(3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:
“若,則
.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為
,設
,
分別過作拋物線
的準線
的垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設,分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線
的焦點為
,
設,
分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
解:(1)拋物線的焦點為
,設
,
分別過作拋物線
的準線
的垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
因為,所以
,
故可取滿足條件.
(2)設,分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線
的焦點為
,
設,
分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
,
則,
.
故,
,
,
是一個當
時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設,分別過
作
拋物線的準線
的垂線,垂足分別為
,
由及拋物線的定義得
,即
.
因為上述表達式與點的縱坐標無關,所以只要將這
點都取在
軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則
,
而,所以
.
(說明:本質上只需構造滿足條件且的一組
個不同的點,均為反例.)
③ 補充條件1:“點的縱坐標
(
)滿足
”,即:
“當時,若
,且點
的縱坐標
(
)滿足
,則
”.此命題為真.事實上,設
,
分別過作拋物線
準線
的垂線,垂足分別為
,由
,
及拋物線的定義得,即
,則
,
又由,所以
,故命題為真.
補充條件2:“點與點
為偶數(shù),
關于
軸對稱”,即:
“當時,若
,且點
與點
為偶數(shù),
關于
軸對稱,則
”.此命題為真.(證略)
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