(Ⅲ)若.函數(shù)在和處取得極值.且.是坐標原點.證明:直線與直線不可能垂直. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

函數(shù)f（x）=x3+ax2-bx+c，a，b，c∈R，已知方程f（x）=0有三個實根x1，x2，x3，即f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）
（1）求x1+x2+x3，x1x2+x2x3+x1x3和x1x2x3的值．（結(jié)果用a，b，c表示）
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β處取得極值且-1＜α＜0＜β＜1，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

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函數(shù)f（x）=x3+ax2-bx+c，a，b，c∈R，已知方程f（x）=0有三個實根x1，x2，x3，即f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）
（1）求x1+x2+x3，x1x2+x2x3+x1x3和x1x2x3的值．（結(jié)果用a，b，c表示）
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β處取得極值且-1＜α＜0＜β＜1，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線垂直于直線.

(Ⅰ) 求的值；

（Ⅱ）求曲線和直線所圍成的封閉圖形的面積；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若方程有三個不相等的實根，求的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運用。利用導(dǎo)數(shù)求解曲邊梯形的面積，以及求解函數(shù)與方程的根的問題的綜合運用。

 

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設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線垂直于直線.
(Ⅰ) 求的值；
（Ⅱ）求曲線和直線所圍成的封閉圖形的面積；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若方程有三個不相等的實根，求的取值范圍.

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（12分）已知函數(shù)在處取得極值，且在點處的切線的斜率為2。

  （1）求a、b的值；

  （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。

 

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一、選擇題（每小題5分，共50分）

6ec8aac122bd4f6e

二、填空題（每小題4分，共28分）

6ec8aac122bd4f6e

三、解答題

18.解：（Ⅰ）由已有

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

                                    (4分)

 

6ec8aac122bd4f6e

                                            (6分)

 

（Ⅱ）由（1）6ec8aac122bd4f6e且6ec8aac122bd4f6e                                 (8分)

所以6ec8aac122bd4f6e              （10分）

6ec8aac122bd4f6e                                                      （12分）

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                                  （14分）

 

19.解：（Ⅰ）同學(xué)甲同學(xué)恰好投4次達標的概率6ec8aac122bd4f6e           (4分)

（Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e可取的值是6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                                              （6分）

6ec8aac122bd4f6e                                            （8分）

6ec8aac122bd4f6e                                              （10分）

6ec8aac122bd4f6e的分布列為

6ec8aac122bd4f6e

3

4

5

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

                                                                      （12分）

所以6ec8aac122bd4f6e的數(shù)學(xué)期望為6ec8aac122bd4f6e                   （14分）

 

20.解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC6ec8aac122bd4f6e平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC                （4分）

 

（Ⅱ）取CD的中點E，則AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE

建立如圖所示空間直角坐標系，則

A（0，，0，0），P（0，0，6ec8aac122bd4f6e），C（6ec8aac122bd4f6e，0），D（6ec8aac122bd4f6e，0）

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e                  (6分)

易求6ec8aac122bd4f6e為平面PAC的一個法向量.

6ec8aac122bd4f6e為平面PDC的一個法向量                                  （9分）

∴cos6ec8aac122bd4f6e

故二面角D-PC-A的正切值為2.  (11分)

（Ⅲ）設(shè)6ec8aac122bd4f6e,則

   6ec8aac122bd4f6e,

解得點6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e   （13分）

由6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e(不合題意舍去)或6ec8aac122bd4f6e

所以當6ec8aac122bd4f6e為6ec8aac122bd4f6e的中點時,直線6ec8aac122bd4f6e與平面6ec8aac122bd4f6e所成角的正弦值為6ec8aac122bd4f6e   （15分）

 

21.解：（Ⅰ）設(shè)直線6ec8aac122bd4f6e的方程為：6ec8aac122bd4f6e

由6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e                     (4分)

由6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e點的坐標為6ec8aac122bd4f6e.

可求得拋物線的標準方程為6ec8aac122bd4f6e.                                       （6分）

（Ⅱ）設(shè)直線6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e，代入拋物線方程并整理得6ec8aac122bd4f6e    (8分)     

設(shè)6ec8aac122bd4f6e則6ec8aac122bd4f6e

設(shè)6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                                      (11分)

當6ec8aac122bd4f6e時上式是一個與6ec8aac122bd4f6e無關(guān)的常數(shù).

所以存在定點6ec8aac122bd4f6e，相應(yīng)的常數(shù)是6ec8aac122bd4f6e.                                     (14分)

 

22．解：（Ⅰ）當6ec8aac122bd4f6e時6ec8aac122bd4f6e              (2分)

6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上遞增，在6ec8aac122bd4f6e上遞減

所以6ec8aac122bd4f6e在0和2處分別達到極大和極小，由已知有

6ec8aac122bd4f6e且6ec8aac122bd4f6e，因而6ec8aac122bd4f6e的取值范圍是6ec8aac122bd4f6e.                                   (4分)

（Ⅱ）當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e即6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e可化為6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e，記6ec8aac122bd4f6e

則6ec8aac122bd4f6e                                        (7分)

記6ec8aac122bd4f6e則6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上遞減，在6ec8aac122bd4f6e上遞增.

6ec8aac122bd4f6e

從而6ec8aac122bd4f6e上遞增

因此6ec8aac122bd4f6e故6ec8aac122bd4f6e                           (10分)

（Ⅲ）假設(shè)6ec8aac122bd4f6e⊥6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

故6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e                                     （12分）

由6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e為6ec8aac122bd4f6e(x)=0的兩根可得，6ec8aac122bd4f6e

從而有6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

即 6ec8aac122bd4f6e≥26ec8aac122bd4f6e，這與6ec8aac122bd4f6e<26ec8aac122bd4f6e矛盾.                                

故直線6ec8aac122bd4f6e與直線6ec8aac122bd4f6e不可能垂直.                                               (15分)

 


同步練習冊答案