極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點D為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C_l的極坐標方程為，曲線C₂的參數(shù)方程為為參數(shù)）。

（1）當時，求曲線C_l與C₂公共點的直角坐標； 

（2）若，當變化時，設曲線C₁與C₂的公共點為A，B，試求AB中點M軌跡的極坐標方程，并指出它表示什么曲線．

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

又，，�！�在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

（本題滿分12分）

已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標原點．

（1）若，求證：曲線是一個圓；

（2）若，當且時，求曲線的離心率的取值范圍．

（12分）某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費

為元（為常數(shù)，且，設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為元（），根據(jù)

市場調(diào)查，銷售量與成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤.

（1）求該工廠的每日利潤元與每公斤蘑菇的出廠價元的函數(shù)關系式；

　（2）若，當每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的利潤最大，并求最大值

（12分）某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費
為元（為常數(shù)，且，設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為元（），根據(jù)
市場調(diào)查，銷售量與成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤.
（1）求該工廠的每日利潤元與每公斤蘑菇的出廠價元的函數(shù)關系式；
　（2）若，當每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的利潤最大，并求最大值