如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC中∠C=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12.若一雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過點P（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線L與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且，問x軸上是否存在定點G，使？若存在，求出所有這樣定點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

設(shè)函數(shù)，其中．

（I）若函數(shù)圖象恒過定點P，且點P關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

設(shè)函數(shù)，其中．
（I）若函數(shù)圖象恒過定點P，且點P關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，討論的單調(diào)性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．