（1）若橢圓的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．在此條件下我們可以提出這樣一個(gè)問題：“設(shè)△PF₁F₂的過P角的外角平分線為l，自焦點(diǎn)F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點(diǎn)的軌跡方程？”
對(duì)該問題某同學(xué)給出了一個(gè)正確的求解，但部分解答過程因作業(yè)本受潮模糊了，我們在

這些模糊地方劃了線，請你將它補(bǔ)充完整．
解：延長F₂Q 交F₁P的延長線于E，據(jù)題意，
E與F₂關(guān)于l對(duì)稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=，
注意到P是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的點(diǎn)，所以Q點(diǎn)的軌跡是，
其方程是：．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．請你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

已知離心率為

3

2

的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)k1=

1

2

時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

4 5

5

，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．