題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題:
1. 答案:C. {x | x≥0},故選C.
2.C
3. (理)對(duì)于中,當(dāng)n=6時(shí),有
所以第25項(xiàng)是7.選C.
4.D
5.A. ∵
。,
∴根據(jù)題意作出函數(shù)圖象即得.選A.
6. 答案:D.當(dāng)x=1時(shí),y=m ,由圖形易知m<0, 又函數(shù)是減函數(shù),所以0<n<1,故選D.
7.A
8.C
二、填空題:
9.810
10.答案: .
11. 答案:.
12.
13. (2)、(3)
14.
15.(本題滿分分)
已知,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
解:(Ⅰ)由,
,
………………………2分
.
…………………5分
(Ⅱ) 原式=
…………………10分
.
…………………12分
16.(本題滿分分)
在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為,
,
的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為
、
,記
.
(Ⅰ)求隨機(jī)變量的最大值,并求事件“
取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解:(Ⅰ)、
可能的取值為
、
、
,
,
,
,且當(dāng)
或
時(shí),
.
……………3分
因此,隨機(jī)變量的最大值為
.
有放回抽兩張卡片的所有情況有
種,
.
答:隨機(jī)變量的最大值為
,事件“
取得最大值”的概率為
. ………5分
(Ⅱ)的所有取值為
.
時(shí),只有
這一種情況,
時(shí),有
或
或
或
四種情況,
時(shí),有
或
兩種情況.
,
,
.
…………11分
則隨機(jī)變量的分布列為:
因此,數(shù)學(xué)期望. ……………………13分
17.(本題滿分分)
如圖,已知正三棱柱―
的底面邊長(zhǎng)是
,
是側(cè)棱
的中點(diǎn),直線
與側(cè)面
所成的角為
.
(Ⅰ)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng);(Ⅱ) 求二面角的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面
的距離.
解:(Ⅰ)設(shè)正三棱柱
―
的側(cè)棱長(zhǎng)為
.取
中點(diǎn)
,連
.
是正三角形,
.
又底面側(cè)面
,且交線為
.
側(cè)面
.
連,則直線
與側(cè)面
所成的角為
. ……………2分
在中,
,解得
. …………3分
此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為
.
……………………4分
注:也可用向量法求側(cè)棱長(zhǎng).
(Ⅱ)解法1:過(guò)作
于
,連
,
側(cè)面
.
為二面角
的平面角.
……………………………6分
在中,
,又
,
.
又
在
中,
.
…………………………8分
故二面角的大小為
.
…………………………9分
解法2:(向量法,見(jiàn)后)
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知,平面
,
平面
平面
,且交線為
,
過(guò)
作
于
,則
平面
.
…………10分
在中,
.
…………12分
為
中點(diǎn),
點(diǎn)
到平面
的距離為
. …………13分
解法2:(思路)取中點(diǎn)
,連
和
,由
,易得平面
平面
,且交線為
.過(guò)點(diǎn)
作
于
,則
的長(zhǎng)為點(diǎn)
到平面
的距離.
解法3:(思路)等體積變換:由可求.
解法4:(向量法,見(jiàn)后)
題(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:
(Ⅱ)解法2:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系
.
則.
設(shè)為平面
的法向量.
由 得
.
取
…………6分
又平面的一個(gè)法向量
…………7分
. …………8分
結(jié)合圖形可知,二面角的大小為
.
…………9分
(Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2,…………10分
點(diǎn)
到平面
的距離
=
.13分
18. (本小題滿分14分)
一束光線從點(diǎn)出發(fā),經(jīng)直線
上一點(diǎn)
反射后,恰好穿過(guò)點(diǎn)
.
(Ⅰ)求點(diǎn)關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)
的坐標(biāo);
(Ⅱ)求以、
為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)
的橢圓
的方程;
(Ⅲ)設(shè)直線與橢圓
的兩條準(zhǔn)線分別交于
、
兩點(diǎn),點(diǎn)
為線段
上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)
到
的距離與到橢圓
右準(zhǔn)線的距離之比的最小值,并求取得最小值時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo).
解:(Ⅰ)設(shè)的坐標(biāo)為
,則
且
.……2分
解得, 因此,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
. …………………4分
(Ⅱ),根據(jù)橢圓定義,
得,……………5分
,
.
∴所求橢圓方程為.
………………………………7分
(Ⅲ),
橢圓的準(zhǔn)線方程為
. …………………………8分
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
表示點(diǎn)
到
的距離,
表示點(diǎn)
到橢圓的右準(zhǔn)線的距離.
則,
.
,
……………………………10分
令,則
,
當(dāng)
,
,
,
.
∴ 在
時(shí)取得最小值.
………………………………13分
因此,最小值=
,此時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.…………14分
注:的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得.
說(shuō)明:求得的點(diǎn)即為切點(diǎn)
,
的最小值即為橢圓的離心率.
19.(本題滿分分)
已知數(shù)列滿足:
且
,
.
(Ⅰ)求,
,
,
的值及數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;
解:(Ⅰ)經(jīng)計(jì)算,
,
,
.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
,即數(shù)列
的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,
;
當(dāng)為偶數(shù),
,即數(shù)列
的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,
.
因此,數(shù)列的通項(xiàng)公式為
.
(Ⅱ),
……(1)
…(2)
(1)、(2)兩式相減,
得
.
.
20.(本題滿分分)
已知函數(shù)和點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
作曲線
的兩條切線
、
,切點(diǎn)分別為
、
.
(Ⅰ)設(shè),試求函數(shù)
的表達(dá)式;
(Ⅱ)是否存在,使得
、
與
三點(diǎn)共線.若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,若對(duì)任意的正整數(shù),在區(qū)間
內(nèi)總存在
個(gè)實(shí)數(shù)
,
,使得不等式
成立,求
的最大值.
解:(Ⅰ)設(shè)、
兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為
、
,
,
切線
的方程為:
,
又切線
過(guò)點(diǎn)
,
有
,
即, ………………………………………………(1) …… 2分
同理,由切線也過(guò)點(diǎn)
,得
.…………(2)
由(1)、(2),可得是方程
的兩根,
………………( * )
……………………… 4分
,
把( * )式代入,得,
因此,函數(shù)的表達(dá)式為
. ……………………5分
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)、
與
共線時(shí),
,
=
,
即=
,化簡(jiǎn),得
,
,
. ………………(3) …………… 7分
把(*)式代入(3),解得.
存在
,使得點(diǎn)
、
與
三點(diǎn)共線,且
. ……………………9分
(Ⅲ)解法:易知
在區(qū)間
上為增函數(shù),
,
則.
依題意,不等式對(duì)一切的正整數(shù)
恒成立, …………11分
,
即對(duì)一切的正整數(shù)
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