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已知函數(shù)f(x)＝m(x－1)²－2x＋3＋ln x，m≥1.
(1)當m＝時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的極小值；
(2)求證：函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]；
(3)是否存在實數(shù)m，使曲線C：y＝f(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

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2008．11

一、填空題

⒈    ⒉     ⒊-i      ⒋     ⒌

⒍       ⒎     ⒏      ⒐    ⒑

⒒14         ⒓      ⒔   ⒕m>

二、解答題

⒖解：(Ⅰ)

             ……（4分）

 ∵函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

∴，∴，

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，……（8分）

(Ⅱ)當時，，∴

∴函數(shù)f(x)的值域為……（14分）

⒗解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC

∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，∴DC∥平面ABE……（4分）

(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面BCDE……（8分）

(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由計算知DF⊥EF，

∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，∴平面AFD⊥平面AFE．……（14分）

⒘解：根據(jù)題意得，BC=km，BD=12km，CD=12km，∠CAB=75°，

設∠ACD=α，∠CDB=β

在△CDB中，由余弦定理得

，所以

于是…………（7分）

在△ACD中，由正弦定理得

答：此人還得走km到達A城……（14分）

⒙解：(1)  因x=－1是的一個極值點

∴

即 2+b-1=0

∴b= -1，經(jīng)檢驗，適合題意，所以b= -1．……（5分）

(2)  

∴>0

∴ >0

∴x>

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為……（10分）

（3）對時，f(x)>c-4x恒成立

∴即對時，f(x) +4x >c恒成立

令=

==0

∴或（舍）

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

∴在x=時取最小值5-

∴C<5-……………………………………（16分）

⒚解：（Ⅰ）∵為偶函數(shù)，∴，∴，∴

  ∴，∴函數(shù)為奇函數(shù)；……（4分）

（Ⅱ）⑴由得方程有不等實根

     ∴△及得即

      又的對稱軸

      故在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)……………………………………………（10分）

⑵是方程(*)的根，∴

∴，同理

∴

同理

要使，只需即，∴

或即，解集為

故的取值范圍……………………（16分）

⒛（Ⅰ）證明：，

由條件可得，所以……（4分）

 (Ⅱ)解：因為b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+9］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+6)

=(-1)ⁿ?（a_n-3n+9）=-b_n

又b₁=,所以

當λ＝－6時，b_n=0(n∈N⁺),此時｛b_n｝不是等比數(shù)列，

當λ≠－6時，b₁=≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當λ≠-6時，數(shù)列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項，－為公比的等比數(shù)列.……（10分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-6,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-6，故知b_n= －(λ+6)?(－)^n-1，于是可得

當n為正奇數(shù)時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+6)<

當a<b3a時，由－b－6－3a－6，不存在實數(shù)滿足題目要求；

當b>3a時存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,

且λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）…………（16分）