先閱讀短文，再回答短文后面的問題．
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
下面根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程．
如上圖，建立直角坐標系xoy，使x軸經(jīng)過點F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合．設(shè)|KF|=p（p＞0），那么焦點F的坐標為（

p

2

，0），準線l的方程為x=-

p

2

．
設(shè)點M（x，y）是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d，由拋物線的定義，拋物線就是滿足|MF|=d的點M的軌跡．
∵|MF|=

(x- p 2 )2+y2

，d=|x+

p

2

|∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|
將上式兩邊平方并化簡，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是（

p

2

，0），它的準線方程是x=-

p

2

．
一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同．所以拋物線的標準方程還有其它的幾種形式：y²=-2px，x²=2py，x²=-2py．這四種拋物線的標準方程，焦點坐標以及準線方程列表如下：

標準方程	交點坐標	準線方程
y2=2px（p＞0）	（ p 2 ，0）	x=- p 2
y2=-2px（p＞0）	（- p 2 ，0）	x= p 2
x2=2py（p＞0）	（0， p 2 ）	y=- p 2
x2=-2py（p＞0）	（0，- p 2 ）	y=- p 2

解答下列問題：
（1）①已知拋物線的標準方程是y²=8x，則它的焦點坐標是

 

，準線方程是

 

②已知拋物線的焦點坐標是F（0，-6），則它的標準方程是

 

．
（2）點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程．
（3）直線y=

3

x+b經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長．

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（2003•黃石）先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：
材料：過拋物線y=ax²（a＞0）的對稱軸上一點（0，-）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點P到點F（0，）的距離與P到l的距離一定相等，我們將點F與直線l分別稱作這拋物線的焦點和準線，如y=x²的焦點為（0，）．
問題：若直線y=kx+b交拋物線y=x²于A、B、AC、BD垂直于拋物線的準線l，垂直足分別為C、D（如圖）．
①求拋物線y=x²的焦點F的坐標；
②求證：直線AB過焦點時，CF⊥DF；
③當直線AB過點（-1，0），且以線段AB為直徑的圓與準線l相切時，求這條直線對應的函數(shù)解析式．

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（2003•黃石）先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：
材料：過拋物線y=ax²（a＞0）的對稱軸上一點（0，-）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點P到點F（0，）的距離與P到l的距離一定相等，我們將點F與直線l分別稱作這拋物線的焦點和準線，如y=x²的焦點為（0，）．
問題：若直線y=kx+b交拋物線y=x²于A、B、AC、BD垂直于拋物線的準線l，垂直足分別為C、D（如圖）．
①求拋物線y=x²的焦點F的坐標；
②求證：直線AB過焦點時，CF⊥DF；
③當直線AB過點（-1，0），且以線段AB為直徑的圓與準線l相切時，求這條直線對應的函數(shù)解析式．

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先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：
材料：過拋物線y=ax²（a＞0）的對稱軸上一點（0，-

1

4a

）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點P到點F（0，

1

4a

）的距離與P到l的距離一定相等，我們將點F與直線l分別稱作這拋物線的焦點和準線，如y=x²的焦點為（0，

1

4

）．
問題：若直線y=kx+b交拋物線y=

1

4

x²于A、B、AC、BD垂直于拋物線的準線l，垂直足分別為C、D（如圖）．
①求拋物線y=

1

4

x²的焦點F的坐標；
②求證：直線AB過焦點時，CF⊥DF；
③當直線AB過點（-1，0），且以線段AB為直徑的圓與準線l相切時，求這條直線對應的函數(shù)解析式．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：CDACB； 6-10：ABCDB； 11-12：CD.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．1；  14．；  15．； 16．①②④．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，∴，

∵，∴．?????????????????????????????????????????????????????????? 2分

則???????????????????????????????????? 4分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，，則．???????????????????????? 8分

則．?????????????????????????????????????????????????????? 10分

∵，∴，∴．????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）設(shè)“學生甲投籃3次入圍”為事件A；“學生甲投籃4次入圍”為事件B，且事件A、B互斥．      1分

則；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

故學生甲最多投籃4次就入圍的概率為．?????????????????????????? 6分

（Ⅱ）依題意，的可能取值為3，4，5．則，??????????????? 7分

，?????????????????????????????????????????????? 8分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

則的分布列為：

3

4

5

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

故．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F(xiàn)為CD中點，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

  （Ⅱ）延長DA，EB交于點H，連結(jié)CH，因為AB∥DE，AB=DE，所以A為HD的中點．因為F為CD中點，所以CH∥AF，因為AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，則∠DCE=45°，則所求成銳二面角大小為45°．???????????? 8分

（Ⅲ），因DE∥AB，故點E到平面ABC的距離h等于點D到平面ABC的距離，也即△ABC中AC邊上的高．??????????????????????????????????????????????????? 10分

∴三棱錐體積．???????? 12分

方法二  （Ⅱ）取CE的中點Q，連接FQ，因為F為CD的中點，則FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，建立如圖坐標系，則F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．平面ACD的一個法向量為，      5分

設(shè)面BCE的法向量，則即取．

則．???????????????????????????? 7分

∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°．?????????? 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一個法向量為，．點A到BCE的距離．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

又，，，△BCE的面積．?? 11分

三棱錐A-BCE的體積．??????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）當時，，．?????????????????????????????????????? 1分

由，解得；，解得．????????????????????????? 3分

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．????????????????????????? 4分

（Ⅱ）由不等式的解集為P，且，可知，對于任意，不等式恒成立，即即在上恒成立．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

令，∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

當時，；當時，．

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．????????????????????????????????????????? 10分

所以函數(shù)在處取得極大值，即為在上的最大值．

∴實數(shù)t的取值范圍是．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）由已知 ，∴點G的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支．   2分

設(shè)方程為，則，，∴．??????????????????????????????????????? 3分

故軌跡E的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）①若存在．據(jù)題意，直線l的斜率存在且不等于0，設(shè)為k（k≠0），則l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，設(shè)、，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

由知，△HPQ是等腰三角形，設(shè)PQ的中點為，則，即．      6分

而，，即．

∴，即，解得或，因，故．

故存在直線l，使成立，此時l的方程為．???????????????????????? 8分

②∵，∴直線是雙曲線的右準線，由雙曲線定義得：，，∴．???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

方法一：當直線l的斜率存在時，∴

．∵，∴，∴.???????????????????????? 11分

當直線l的斜率不存在時，，，綜上.??????????????????????? 12分

方法二：設(shè)直線的傾斜角為，由于直線與雙曲線右支有兩個交點，

∴，過Q作，垂足為C，則，

∴，由，得，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．（Ⅰ）解：，，∴．??????????????????????? 2分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，

∴，當且僅當時，．

∵a₁=1，故．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

下面采用數(shù)學歸納法證明．

當n=1時，a₁=1<2，結(jié)論成立．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即，則n=k+1時，

，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，

∴，即當n=k+1時結(jié)論也成立．???????????????????????????????????????? 7分

綜上可知：．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由，有，

∴ ，∴．?????????????????????????????? 10分

故，

則．????????????????????????????? 12分

由，，求得．

當n=1時，；當n=2時，；當n≥3時，由（Ⅱ）知，有．      14分