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(本小題滿分12分)

如圖，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A₁AC＝60°，點(diǎn)O為底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn).

  （Ⅰ）證明：A₁O⊥平面ABCD；

  （Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的正切值.

 

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一、ACBCD   DDCAB

二、11。       _{12。12         13。}

 14。

 15。②③⑤

三、16解：（I）

          。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

         。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

   （II）

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

       當(dāng)   。。。。。。。。。。。。。。  13分

17解（1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，則O為B₁C的中點(diǎn)，

        ∵D為AC中點(diǎn)    ∴OD∥B₁A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

        又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

         ∴B₁A∥平面BDC₁   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

  （2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

       ∴CC₁⊥面ABC   則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

      如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系 則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

 ∴設(shè)平面的法向量為  由得

，取，  則。。。。。。。。。10分

 又平面BDC的法向量為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

       cos

∴二面角C₁―BD―C的余弦值為。。。。。。。。。13分

18解：（I）設(shè)周五有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科作業(yè)分別為事件A₁、A₂、A₃周五沒(méi)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科作業(yè)為事件A，則由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）設(shè)一周內(nèi)有數(shù)學(xué)作業(yè)的天數(shù)為，則

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

  所以隨機(jī)變量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

   故 。。。。。。。。。。13分

19解:(Ⅰ)由題意,可設(shè)拋物線方程為.

由,得.拋物線的焦點(diǎn)為,.

拋物線D的方程為.  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)設(shè)A由于O為PQ之中點(diǎn),故當(dāng)軸時(shí)由拋物線的對(duì)稱性知 。。。。。。。。。。。。。。。。。。

當(dāng)不垂直軸時(shí),設(shè):,

由,

,,

                …

(Ⅲ)設(shè)存在直線滿足題意,則圓心,過(guò)M作直線的垂線,

垂足為E, 設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，可得,

即  =

=

==                   

當(dāng)時(shí),,此時(shí)直線被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值.…12分

因此存在直線滿足題意.                                  ……13分

20解：(Ⅰ) ，

． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

當(dāng)時(shí)，． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減； 

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖像在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，

即     ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．

， 由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．

令，則

，  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

當(dāng)時(shí)，．

  當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

∴  當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，其最大值為．   

從而，即恒成立．。。。。。。。13分             

∴  函數(shù)和存在唯一的隔離直線．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二： 由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)， (當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)) ．。。。。。7分

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得

和恒成立，

令，則且

，即． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解題步驟同解法一．

21（！）解：PQ＝，

       PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

         .　　 所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直線任取點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，

故，又，得　  所以　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為:

    直線的直角坐標(biāo)方程為：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圓心的坐標(biāo)為（2，0），圓的半徑R=2，

圓心到直線l的距離

或    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（法二）把（是參數(shù)）代入方程,

得,

.

或  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(3) 解:（Ⅰ）

函數(shù)如圖所示。。。。。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）由題設(shè)知：

如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象

（如圖所示） 又解集為.

    由題設(shè)知，當(dāng)或時(shí)，且即

由得： 。。。。。。。。。。。。。。。。7分