題目列表(包括答案和解析)
如圖所示，正△ABC的邊長為4，D、E、F分別為各邊中點(diǎn)，M、N、P分別為BE、DE、EF的中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐以后.
（1）∠MNP等于多少度？
（2）擦去線段EM、EN、EP后剩下的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？
如圖所示,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,且AD=
AC,AE=
AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;
(2)若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.
如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的長度都為4，點(diǎn)D是B1C1的中點(diǎn)，則異面直線AB1與A1D所成的角是一、ABCBD BCABD
二、11.2 12. 
13.4 14.10 15. ①②③
三、16. 解：（1）
，
3分
由已知
，得
．
6分
（2）由（1）得
，
8分
當(dāng)
時，
的最小值為
，
10分
由，得
值的集合為
． 13分
17. 解：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC 
PA=PB PO
AB
又在
中，
，
在
中，
，又
，故有
又
， 
面ABC 4分
又 PO
面PAB，面PAB面ABC
6分
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以O(shè)B，OC，OP為軸，
軸，
軸建立坐標(biāo)系，
如圖，則A
8分
設(shè)平面PAC的一個法向量為
。
得
令
，則
11分
設(shè)直線PB與平面PAC所成角為
，
于是
13分
18. 解：（1）
；
4分
（2）消費(fèi)總額為1500元的概率是：
5分
消費(fèi)總額為1400元的概率是：
6分
消費(fèi)總額為1300元的概率是：
＝
，
所以消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率是
；
8分
（3）
，
，
＝
。所以
的分布列為：
0
1
2
3
0.294
0.448
0.222
0.036
數(shù)學(xué)期望是：
。 13分
19. 解：∵
的右焦點(diǎn)
∴橢圓的半焦距
，又
，
∴橢圓的
， 
.橢圓方程為
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，故橢圓方程為
， 3分
（Ⅱ）依題意設(shè)直線
的方程為：
，
聯(lián)立
得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
. 4分
將代入
得
.
設(shè)
、
，由韋達(dá)定理得
，
. 5分
又
，
.
7分
有實(shí)根， ∴點(diǎn)可以在圓上. 8分
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)
，
由
解得：
. 10分
∴
，
，又
.即
的邊長分別是
、
、
.
時，能使的邊長是連續(xù)的自然數(shù)。 1
3分
20. 解：（1）
．
1分
當(dāng)
時，
，在
上單調(diào)遞增；
2分
當(dāng)
，
時，
，在
上單調(diào)遞減；
時，，在
上單調(diào)遞增．
3分
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
4分
（2）充分性：
時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，
即
。而在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
所以在上有唯一的一個零點(diǎn)x=1． 6分
必要性：若函數(shù)f(x)存在唯一零點(diǎn)，即方程=0在上有唯一解，
因, 由（1）知，在
處有極小值也是最小值f(a)，
f(a)=0,即
．
7分
令
， 
．
當(dāng)
時，
，
在上單調(diào)遞增；當(dāng)
時，
，
在上單調(diào)遞減。
，=0只有唯一解．
因此=0在上有唯一解時必有．
綜上：在時， =0在上有唯一解的充要條件是． 9分
（3）證明：∵1<x<2, ∴
.
令
，∴
，11分
由（1）知，當(dāng)時，，∴
，
∴
．∴
，
12分
∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴
，
∴
�！�
．
14分
21. （Ⅰ）解：考慮在矩陣
作用下，求出變換后的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得三角形的面積，可先求得
，由
＝，得點(diǎn)
在矩陣
作用下變換所得到的點(diǎn)
，同理求得
在矩陣作用下變換所得到的點(diǎn)分別是
，
，計算得△
的面積為3．
7分
（Ⅱ）解：直線
的極坐標(biāo)方程
，則
，
即
，所以直線的直角坐標(biāo)方程為
； 2分
設(shè)
，其中
，則P到直線的距離
，其中
，∴ 當(dāng)
時，
的最大值為
；當(dāng)
時，的最小值為
。
7分
（Ⅲ）解：由柯西不等式，得
， 2分
即
．由條件，得
．解得
， 2分
當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立．代入
時，
；
時，
．所以，
的取值范圍是
．
7分
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