18．甲.乙兩人參加一項(xiàng)智力測試.已知在備選的10道題中.甲能答對6道題.乙能答對8道題.規(guī)定每位參賽者都從這10道題中隨機(jī)抽出3道題獨(dú)立測試.至少答對兩道題才算通過．(1)求只有1人通過測試的概率, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）甲、乙兩人準(zhǔn)備參加中央電視臺組織的奧運(yùn)志愿者選拔測試。已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道，乙能答對其中 的8道。規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道進(jìn)行測試，至少答對2道才能入選。

   （1）求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。

   （2）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率。

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（本小題滿分12分）

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們的培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成中隨機(jī)抽取8次，記錄如下

甲：82，91，79，78，95，88，83，84

乙：92，95，80，75，83，80，90，85

（I）        畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖；

（II）      現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合請說明理由。

（III）     若將頻率視為概率，對學(xué)生甲在今后的三次數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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（本小題滿分12分）

        甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)

賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

    甲：72  71  69  68  85  78  83  74

    乙：82  85  70  65  73  70  80  75

   （Ⅰ）畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖，指出學(xué)生乙成績的中位數(shù)；

   （Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)建模競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由；

   （Ⅲ）若將頻率視為概率，對學(xué)生甲在今后的三次數(shù)學(xué)建模競賽成績進(jìn)行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

 

 

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（本小題滿分12分）

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

                甲：82  81  79  78  95  88  93  84

                乙：92  95  80  75  83  80  90  85

（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，并寫出乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）經(jīng)過計(jì)算知甲、乙兩人預(yù)賽的平均成績分別為，甲的方差為，現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加較合適？請說明理由；

（3）現(xiàn)規(guī)定80分以上為合格成績，90分以上為優(yōu)秀成績，從甲的合格成績中隨機(jī)抽出2個(gè)，則抽出優(yōu)秀成績的概率有多大？

 

 

 

 

 

 

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（本小題滿分12分）

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

                甲：82  81  79  78  95  88  93  84

                乙：92  95  80  75  83  80  90  85

（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，并寫出乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）經(jīng)過計(jì)算知甲、乙兩人預(yù)賽的平均成績分別為，甲的方差為，現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加較合適？請說明理由；

（3）現(xiàn)規(guī)定80分以上為合格成績，90分以上為優(yōu)秀成績，從甲的合格成績中隨機(jī)抽出2個(gè)，則抽出優(yōu)秀成績的概率有多大？

 

 

 

 

 

 

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一、

1．B       2．A      3．D      4．D      5．C      6．B       7．A      8．C      9．D      10．A

11．A    12．B

1．由題意知，解得或，故選B．

2．原不等式即為，化得，解得．故選A．

3．由條件．對上，所以

又，所以．故選D．

4．設(shè)到的角為的斜率的斜率，

則，于是．故選D．

5．由解得，即其反函數(shù)為，又在原函數(shù)中由得，即其反函數(shù)中．故選C．

6．不等式組化得  或

       平面區(qū)域如圖所示，陰影部分面積：

       ，故選B．

      

7．由已知得，而

       ．故選A．

8．．故選c．

9．令，則，即的圖象關(guān)于（0，0）點(diǎn)對稱，將的圖象向下平移6個(gè)單位．得題中函數(shù)的圖象，則它的對稱中心為（0，）．故選D．

10．．故選A．

11．由條件得：，則得，所以．故選A．

12．由已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內(nèi)切圓是球的大圓．設(shè)底面正三角形的邊長為，球半徑為，則，又，解得，則，于是．故選B．

二、

13．與平行，，解得

       即

14．設(shè)數(shù)列的公比為，則

       ，兩式相除，得，則．

       所以．

15．由題意知，直線是拋物線的準(zhǔn)線，而到的距離等于到焦點(diǎn)的距離．即求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離和的最小值，就是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，為．

16．一方面．由條件，，得，故②正確．

另一方面，如圖，在正方體中，把、分別記作、，平面、平面、平面分別記作、、，就可以否定①與③．

三、

17．解：，且

       ，即

       又．

       由正弦定理

       又

      

      

       即的取值范圍是區(qū)間．

18．解：（1）設(shè)甲、乙兩人通過測試的事件分別為、，則，

              、相互獨(dú)立，∴甲、乙兩人中只有1人通過測試的概率

              ．

（2）甲答對題數(shù)的所有可能值為

      

      

    ∴甲答對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．

19．解：（1）由已知，∴數(shù)列的公比，首項(xiàng)

             

             

              又?jǐn)?shù)列中，

              的公差，首項(xiàng)

             

             

             

             

              （時(shí)也成立）

           ∴數(shù)列、的通項(xiàng)公式依次為．

       （2）記

              當(dāng)時(shí)，和都是增函數(shù)

              即時(shí)，是增函數(shù)

              當(dāng)4時(shí)，；

              又

              時(shí)或，∴不存在，使．

20．（1）證明；在直三棱柱中，

              面

              又

             

              面，而面，

           ∴平面平面

（2）解：取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則．

與平面所成角的大小等于與平面所成角的大小，取中點(diǎn)，連接、，則等腰三角形中，．

又由（1）得面．

面

為直線與面所成的角

又

，

∴直線與平面所成的角為．

（注：本題也可以能過建立空間直角坐標(biāo)系解答）

21．解：（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為

              ，半焦距

              由已知得，解得，則

              故橢圓及雙曲線方程分別為及．

       （2）由向量的數(shù)量積公式知，表示向量與夾角的余弦值，設(shè)，即求的值．

              由余弦定理得              ①

由橢圓定義得                       ②

由雙曲線定義得                     ③

式②+式③得，式②一式③

得

將它們代人式①得，解得，

所以．

22，解：（1）由

得

要使在（0，1]上恒為單調(diào)函數(shù)，只需或在（0，1]上恒成立．

∴只需或在（0，1]上恒成立

              記

              或

       （2），

           ∴由得

       

        化簡得

        時(shí)有，即，

        則                     ①

              構(gòu)造函數(shù)，則

              在處取得極大值，也是最大值．

在范圍內(nèi)恒成立，而

從而在范圍內(nèi)恒成立．

∴在時(shí)，

而時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，恒成立

即時(shí)，總有                                       ②

由式①和式②可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

 

 

 


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