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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

    D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1­上的點，二面角M―DE―A為30°.

   （1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   （2）求點C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?

 

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

   (1)求證:≥,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

   (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

   (2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.

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一、A卷：AADCB  DCCCB  AA

二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③

三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[sin(x+]2=[g(x)]2

   由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1

   ∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1  ……………………………………………3分

   ∵-

   ∴x+=0,或x+=,或x+=

   x=-或x=0或x=

   所求x值的集合為{-,0,}      …………………………………………………7分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知，

   解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得

   2kπ+≤x≤2kπ+     …………………………………………………………9分

   ∵-≤x≤且x≠-,

   ∴≤x≤

   ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[，]     ………………………………………12分

18.解：所獲利潤為3000元時，所生產(chǎn)的產(chǎn)品一件為二等品，另一件不能達到一、二等品，所求概率為：P1=2×0.2×0.05=0.02       ………………………………………6分

           所獲利潤不低于14000元，所生產(chǎn)的產(chǎn)品一件為一等品，一件為二等品，或兩件均為一等品，所求概率為：P2=2×0.75×0.2+0.752=0.8625    ……………………12分

19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影

  又ABCD為菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD,即PD⊥AC

  在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，

∴OD=AO?cot60°=1

  在Rt△POD中，PD=，由PE：ED=3：1，得

  DE=又∠PDO=60°，

∴OE2+DE2=OD2，∴∠OED=90°,即PD⊥OE

 PD⊥平面EAC     …………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=，易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO，

∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO

=    ………………………………………8分

(Ⅲ)由O為BD中點，知點B到平面PDC的距離等于點O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=

  ∴OH=

  所以點B到平面PDC的距離為     ……………………………………………12分

 

 

 

 

 

 

 

解法二：建 立如圖所示的坐標系O-xyz，其中A(0，-，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).

(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-)

∵

∴

∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角

∵

∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分

(Ⅲ)由O為BD中點知，點B到平面PDC的距離為點O到平面PDC距離的2倍

又，cos∠OED=cos<

所以點B到平面PDC的距離

d=2………………………………………………12分

20.解：(Ⅰ)依題意，設(shè)f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)

  當a>0時，則f(-4)=18,f(-2)=-18,∴

  解得a=1,b= -18…………………………………………………………………………3分

  當a<0時，則f(2)=18,f(-4)=-

  解得a=-1,b=18

  ∴所求解析式為f(x)=x2-4x-14或f(x)=-x2+4x+14……………………………………6分

  (Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b

  f′(x)=2ax-4a

  ∵f′=-2,∴2a-4a=-2,∴a=1……………………………………………………………8分

  ∴f(1)=1+b,f(3)=1+b即A(1，1+b),B(3,1+b)

   f′(3)=6a-4a=2

  設(shè)l1、l2的方程為：y-(1+b)=-2(x-1)

                                y-(1+b)=2(x-3)

  上式聯(lián)立解得y=b-1

  即C點的縱坐標為b-1

  ∴△ABC的AB邊上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2

  又|AB|=2

  ∴△ABC的面積S=|AB|?h=2……………………………………………………12分

21.解：(Ⅰ)在(n+1)an-nan+1=2中，令n=1,得2a1-a2=2,∴a2=2a1-2=4再令n=2,得3a2-2a3=2,得a3=a2-1=5

 ∴a2=4,a3=5…………………………………………………………………………………3分

(Ⅱ)由(n+1)an-nan+1=2,得

 ∴

當n≥2時，=

  ∴an=n+2

  n=1時，a1=3也適合，∴an=n+2(n∩N*)…………………………………………8分

(Ⅲ)∵an+an+1=(n+2)+(n+3)=2n+5

∴(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)= …………………………12分

22.解：由已知，F()，雙曲線的漸近線y=±x的方向向量為v=(1,±1),當l斜率k存在時，不失一般性，取A(，-1)、B(，1)、B(，1)，則在v上的投影的絕對值為，不合題意………………………………………………2分

  所以l的斜率k存在，其方程為y=k(x-).

  由得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)

 設(shè)A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),則x1+x2=………………6分

當v=(1，1)時，設(shè)與v的夾角為θ，則=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的絕對值

=

=.

由，得2k2-5k+2=0,k=2或k=.

       所以直線l的方程為y=±2(x-)或y=±.…………………12分

 


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